不等式和它性质

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1、不等式和它的性质·例题 例5-1-1 下列判断是否正确，为什么？(1)a≥b就是a＞b或a=b；(2)已知不等式组：①a＞b与b＜a；②a＞b与c＞d；③a＞b与b≥c；④a＜b与b＜c．它们都是同向不等式．(3)两个同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向．(4)由乘法单调性施行条件和结论的等数交换可以得到两个真命题：解 (1)正确．a≥b是a＜b的否定．根据三分律，a＜b的否定即为a＞b或a=b．(2)不正确．只有②，④是同向不等式；①是异向不等式；③既不是同向的也不是异向的不等式．(3)不正确．例如-2＞-5与4＞-1，两边分别相乘得-8＜5，它与原不等式

2、方向相反．(4)正确．事实上，-6-注 三分律是；对于任意a，b∈R，a＞b，a=b，a＜b三者有且仅有一种成立．例5-1-2 判断下面各命题的真假，并说明理由：所以 a+c＞b+d(不等式的传递性)注 这个命题给出了不等式相加法则．(2)真．事实上，注 这个命题给出了不等式相减法则．注意：两同向不等式不能依项相减．(3)真．事实上，-6-注 这个性质叫做不等式取倒数法则．注 在(4)中，如果加强条件，便可得到一个真命题：就是说，在非负数范围内，不等式两边取同次算术根的运算保持不等号方向不变．例5-1-3 比较大小：解 (1)根据不等的比差性质，作差比较：(2)[法一]

3、作差比较：-6-(3)作平方差比较：因a＞b＞0，故(4)比较两数(式)的大小，还可根据以下性质作商比较：注 (i)对于(1)，要注意分类讨论，防止默认1+a＞0而导致错误结论；(ii)(2)的法二推导用到同向不等式相乘法则；(iii)(3)中间接应用比差性质，先作平方差确定正负，再通过命题x2(iv)作商比较法只能在正实数范围内进行．-6-A．a＞b＞0，a≠b                        B．a＜0，b＜0，a≠bC．ab＞0，a≠b                            D．ab≠0，a≠b解 C 事实上，注 这个不等式应用频繁，

4、要注意使其成立的条件．如果去掉条件a≠b，会得到更一般的不等式解 (1)由题设易知ad-bc＜0，于是，比较

5、b(b+d)

6、与

7、d(b+d)

8、，即b(b+d)与d(b+d)的大小．因b＞d，故b(b+d)-d(b+d)=(b-d)(b+d)＞0故b(b+d)＞d(b+d)，注意到ad-bc＜0，于是，-6-注 对于(2)，读者可进一步分析b=d及b＜d的情形．-6-