不等式和它性质

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1、不等式和它的性质·例题 例5-1-1 下列判断是否正确,为什么?(1)a≥b就是a>b或a=b;(2)已知不等式组:①a>b与b<a;②a>b与c>d;③a>b与b≥c;④a<b与b<c.它们都是同向不等式.(3)两个同向不等式两边分别相乘,所得不等式与原不等式同向.(4)由乘法单调性施行条件和结论的等数交换可以得到两个真命题:解 (1)正确.a≥b是a<b的否定.根据三分律,a<b的否定即为a>b或a=b.(2)不正确.只有②,④是同向不等式;①是异向不等式;③既不是同向的也不是异向的不等式.(3)不正确.例如-2>-5与4>-1,两边分别相乘得-8<5,它与原不等式

2、方向相反.(4)正确.事实上,-6-注 三分律是;对于任意a,b∈R,a>b,a=b,a<b三者有且仅有一种成立.例5-1-2 判断下面各命题的真假,并说明理由:所以 a+c>b+d(不等式的传递性)注 这个命题给出了不等式相加法则.(2)真.事实上,注 这个命题给出了不等式相减法则.注意:两同向不等式不能依项相减.(3)真.事实上,-6-注 这个性质叫做不等式取倒数法则.注 在(4)中,如果加强条件,便可得到一个真命题:就是说,在非负数范围内,不等式两边取同次算术根的运算保持不等号方向不变.例5-1-3 比较大小:解 (1)根据不等的比差性质,作差比较:(2)[法一]

3、作差比较:-6-(3)作平方差比较:因a>b>0,故(4)比较两数(式)的大小,还可根据以下性质作商比较:注 (i)对于(1),要注意分类讨论,防止默认1+a>0而导致错误结论;(ii)(2)的法二推导用到同向不等式相乘法则;(iii)(3)中间接应用比差性质,先作平方差确定正负,再通过命题x2(iv)作商比较法只能在正实数范围内进行.-6-A.a>b>0,a≠b                        B.a<0,b<0,a≠bC.ab>0,a≠b                            D.ab≠0,a≠b解 C 事实上,注 这个不等式应用频繁,

4、要注意使其成立的条件.如果去掉条件a≠b,会得到更一般的不等式解 (1)由题设易知ad-bc<0,于是,比较

5、b(b+d)

6、与

7、d(b+d)

8、,即b(b+d)与d(b+d)的大小.因b>d,故b(b+d)-d(b+d)=(b-d)(b+d)>0故b(b+d)>d(b+d),注意到ad-bc<0,于是,-6-注 对于(2),读者可进一步分析b=d及b<d的情形.-6-

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