基于当地笛卡儿架构的无网格方法课件

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1、基于当地笛卡儿架构的无网格方法刘高联李孝伟（上海市应用数学和力学研究所，710072）1引言传统的数值解法在处理诸如固体裂纹扩展和流体中激波、涡面等问题时，为了避免网格的过度变形导致计算失败，必须不断地重新构造计算区域的网格，从而大大降低计算效率并造成计算资源的浪费。所以，为了有效地解决这些问题，最近几年来已有不少学者将重点放在了发展所谓的无网格方法上。无网格方法包括以下几个步骤：1）在分析的区域中任意地布点；2）为每一个样点配点，形成覆盖整个计算区域的一系列子域；3）在每个子域中构造未知量的近似函数；4）推导样点的

2、离散型的控制方程；5）求解控制方程。其中，步骤2）和3）是非常重要的，它们通常决定着操作过程的复杂程度和数值解的精确性。现有的大部分方法是预设一个半径，以样点为圆心划出一个子域，然后通过该子域内的所有点上的函数值构造近似函数。我们知道，如果点的分布是杂乱无章的，划分子域时很难预设半径大小，并且在不同子域内点的数目不一样，不容易以通用的形式构造近似函数。本文提出一种新的无网格方法，其主要特点是自动地在每一样点建立一个笛卡儿架构并选取相应的邻近点，然后运用全导数公式构造该样点的所有导数。该方法不需要任何网格单元，所以是彻底

3、的无网格方法，并且整个过程非常容易通用化，弥补了前有方法的不足。2离散方法我们选用下面的Poisson方程来说明本文方法的离散思想：（1）在无网格方法中，需要运用某一点的一系列邻近点的函数值来近似该点的函数值及其导数。那么一个重要任务就是为某个样点选择适当的邻点。下面将说明本文方法的选点过程。首先，在所研究的区域中任意布点。然后选取点0作为要在其上构造导数的样点。引入一个笛卡儿架构0xy，其原点与点0重合,如图1所示。如果某一点在笛卡儿架构0xy的第四象限中，并且该点离点0和x轴最近，那么我们将这一点定义为点1，可以看

4、出点1不会是点0本身。如果某一点在笛卡儿架构0xy的第一象限中，并且该点离点0和x轴最近，那么我们将这一点定义为点2。如果某一点在笛卡儿架构0xy的第一象限中，并且该点离点0和y轴最近，那么我们将这一点定义为点3。依据同样的原则可以定义出图1中的点4—点8。对于所研究的区域中的所有样点均实行同样的操作，那么为每一个图1样点0上的笛卡儿架构及点0的邻点样点配置8个邻点的工作就完成了。423156781’6’xy03’8’下面以二阶导数项为例来说明本文方法的离散过程。引入辅助点和点，它们分别为线段、与x轴的交点。那么二阶导

5、数项可以写为如下的离散形式：（2A）其中，，,,。既然点和点为辅助点，而不是真正的节点，那么就应当消去方程(2A)中的和。为此，应用如下的全导数公式：（注：为与x轴的夹角）可以得到（2B1）（2B2）离散方程（2B2）得（2C）类似地，可以得到（2D）将方程(2C)和(2D)代入方程(2A)中消去和，从而得到的最终离散表达式：（3）遵循同样的过程，可以得到的离散表达式：（4）其中，，,,。将（3）和(4)代入方程（1）,得到Poisson方程的离散形式：（5）其中，，，，，3数值算例以二维Poisson方程为例验证本文

6、方法的有效性及精度。问题1：控制方程和Dirichlet边界条件为：（6）该问题具有解析解。首先，在计算区域内任意分布节点，采用了密疏两套布点形式，一套为441个节点，一个套121个节点，分别如图2、3所示。然后运用本文的无网格方法对以上问题进行数值模拟。得到的等u线如图2、3所示。显然，在密点分布下的等u线几近于圆心为（0,0）点的同心圆，与理论值吻合良好。在稀点分布下的模拟结果要差一些，但即使在节点分布如此稀的情况下，也能得到比较可靠的计算结果，说明了本文方法的有效性和精度都很高。图2点分布与等u线(441个节点)

7、图3点分布与等u线(121个节点)图4y=1.0处，沿x方向u分布曲线比较问题2：平直槽道内得圆柱绕流控制方程为：（7）其中，为流函数。流动区域如图5所示，取上半区，计算量可以减少一半。图5流动区域图边界条件为：左边界：右边界：上边界：下边界及圆柱面上：该问题有精确解：（8）以上各式中，H为槽道宽度，a为圆柱半径。本算例中取H=8.0，a=1.0。在计算区域内任意分布节点，如图6所示。然后运用本文的无网格方法对以上问题进行数值模拟。得到的等线如图6所示。图7给出了计算得到的圆柱面上的压力系数分布与精确解的对比，二者吻合

8、良好。本算例再次说明了本文方法的有效性和精度都很高。图6点分布与等线图7圆柱表面的压力分布