圆中“漏解”问题举隅

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1、圆中“漏解”问题举隅摘要：圆中产生的两值问题，是学生在解答过程中最容易疏忽而出现遗漏的，因而在培养学牛.思维的缜密性方面起着重要作用。解这类问题，关键是要缜密思考，先作出符合条件的所有图形。关键词：圆；对称；漏解；思维；缜密圆是中心对称图形，其对称性不仅增添了它作为几何图形的美学价值,也增添了它作为几何概念的思维训练价值。因为由其对称性产生的一大类两值问题，恰恰是学生在解答过程中最容易疏忽而出现漏解的。所以在培养学生思维的缜密性方面，它起着不可或缺的作用。兹撷数例略作说明：例1:A、B是O0上两点，K∠AOB=70°,C是

2、©0上不与A、B重合的任意一点，则∠ACB的度数是。解:作出图1，则∠AOB与∠ACB分别为同弧AB上的圆心角与圆周角。由∠AOB=70°，可得∠ACB=35°0漏解：事实上，A、B两点将©0分成了优弧AB和劣弧AB,点C也可在劣弧AB上，因此可作出图2，知遗漏一解.在优弧AB上任取点C′,连接AC′、BC′,由圆内接四边形ACBC′对角互补可得：∠ACB=180°-35°=145°<>思考题：PA、PC

3、分别切O0于A、C两点，B为O0上与A、C不重合的一点。若∠P=50°，则∠ABC等于。（提示：木题需考虑B点可位于优、劣弧上两种位置，解答时需用到切线长定理。答案：65°，115°）例2:在半径为5的圆内，有两条互相平行的弦，一条弦讼是8,另一条弦长是6,则两条弦之间的距离是。解：作出图3，在RtAAOE中，0A=5,AE=3,可得0E=4。同理可求得漏解：作出图4,用与上面同样的步骤，可求得0E=4,0F=3o因此，AB、CD之间的距离EF=OE+OF=4+3=7o思考题：水平放置的直径为40c

4、m的圆柱形水管里面有水，从其横截面上量得水面宽20cm，求水面高。(提示:本题易想到图5的情况，易遗漏图6的情况.答案:10cm，30cm)例3:己知OA、OB是O0的半径并且互相垂直，延长OB到C点，使BC=OB,CD是O0的切线，D为切点，求∠OAD的度数。解：据题意作出图7，AODC为RtAODC，J1OC=2OD,∴∠OCD=30°,从而∠COD=60°，故脊∠AOD=30°。又•••AAOD为等腰△，∴∠OAD=(180°-30&

5、deg;)÷2=75°。漏解：据圆的切线长定理，过圆外一点可以作圆的两条切线，作出图8.用与上面同样的步骤，可求得∠COD=60°，故奋∠AOD=150°。又•••AAOD为等腰△，∴∠OAD=(180°-150°)÷2=15°o思考题：如图9,AB是O0的直径，AC是弦，AB=2,AC=,在图中画出弦AD,使AD=1，求∠CAD的度数。(提示：本题需考虑弦AD可画在圆被直径所分成两部分的每一部分上，因而有两种情况，如

6、图9、图10.答案：15°,105°)例4:己知O0的直径为14，弦AB=10,点P为AB上一点，且OP=5，则AP的长为。解：据题意作出图11,连接0A,过点O作OC⊥AB，由垂径定理，得AC=5。又•••0A=7,由勾股定理可得OC=2。XVOP=5,∴在RtAOCP中，由勾股定理可得PC=1,从而AP=AC-PC=5—1=4。漏解：据题意，亦可作出图12，连接OB,过点O作OC⊥AB，由垂径定理得BC=5。又*/OB=7,由勾股定理同样可得OC=2。据已知0P=5,在RtAOCP中，

7、由勾股定理可算得CP=1,∴AP=AC+CP=5+1=6<>思考题：O0的直径AB=13,C为©0上一点，CD⊥AB,垂足为DKCD=6,求ad的长。(提示：作出图13,连接AC、BC,则AACB为RtA,CD为斜边上的高。解由AD+BD=AB和CD2=AD?BD联立的方程组，可得AD=9或AD=4。当然，本思考题的解法能自然得出AD的两个值，但就对本题能完整理解的要求来说，解题者必须认识到位置不确定的垂足D点，亦可如图14，在弦AB上以0为中心的对称位置，从而事先也应能作出图14。以上我们看到，圆上位置不确定的点

8、，圆中位置不确定的弦，圆的位置不确定的切线，圆中弦上位置不确定的点，都会导致两解问题的产生。事实上，导致圆中两解问题产生的因素并不局限于这几个，如果我们将问题稍作拓展，考虑两圆相交与相切等情况