寻芳陌上花如锦,折得东风第一枝

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1、寻芳陌上花如锦，折得东风第一枝——三角恒等变换中的几种常用思想方法探究　三角函数是每年高考必考的内容之一,相关试题灵活多样,但往往都离不开一个共同的解题途径——就是利用公式对三角函数式进行恒等变形.因此,在学习三角函数时,一定要掌握三角函数式变形、化简的方法和技巧.三角函数的核心问题是三角恒等变换，证明或求解三角恒等问题是三角函数中的重要题型，也是热门问题。三角恒等变换问题涉及公式多，变化多，除了要熟悉公式外，还需要掌握一些恒等变换的基本思想方法，要善于辨别式中的差异：如角度差异、函数名称差异、形式的差异等。把握解题目标，灵活应用公式，配以基本

2、解题技法，则可以为应用公式创造条件，开辟解题途径，提高解题效率。一、“1”的妙用。我们知道，同角三角函数关系中，1=sin2α+cos2α，故等式中的“1”有时可以代换为正、余弦的平方和，这样可给证明恒等式带来方便。例1：求证：=tan-cot.证明：左边===—=tan-cot=右边.∴=tan-cot成立.例2：求证：=.证明：注意左边分子，1=sin2+cos2，而sin2=2sin·cos左边===（分子分母同除以cos）==右边.∴=成立.注：在三角恒等变换中，也常把sin2+cos2代换为“1”。二、凑配法在三角函数中,角的

3、“和”、“差”、“倍”、“半”都是相对而言的.二倍角公式不仅可以运用于将2α作为α的2倍的情况,还可以运用于诸如将4α作为2α的2倍,将α作为α/2的2倍,将α/2作为α/4的2倍,将3α作为3α/2的2倍等的情况.另外,也常用如下的配凑角的方法:α=(α+β)-β=(α-β)+β=α+β2+α-β2,2α=(α+β)+(α-β),2α+β=(α+β)+α,2α-β=(α-β)+α,10°=30°-20°,50°=30°+20°,15°=45°-30°,75°=45°+30°等.解题过程中应充分利用这些变形.在条件等式的求证过程中，往往存在待证

4、式中的角与条件式中的角度的不同。这时，我们可以考虑用待证式中的角，表示已知式中的角度，达到消除角度差异的目的，然后再进行恒等变形，可达事半功倍的效果。例3：已知：2tan=3tan，求证：tan(-)=.证明：∵2tan=3tan∴2tan[(—)+]∴2·=3tan整理得：tan(-)====.例4：已知：＜＜＜，cos(-)=，sin(+)=—，求sin2的值。解：∵＜＜＜∴0＜-＜π＜+＜∴sin(-)=cos（+）=—∴sin2=sin[(-)+(+)]=sin(-)·cos(+)+cos(-)·sin（+)=×（—）+×（—）=—.三

5、、切割化弦法。若三角等式中，含有切、割函数时，可利用同角三角函数关系中商的关系和倒数关系化切、割函数为正、余弦函数。例5：求证：+=1—sin·cos.证明：左边=+=+===1—sin·cos=右边∴+=1—sin·cos.例6：求证：=sin+cos.证明：左边====sin+cos=右边.∴=sin+cos成立.以上例5、例6证明中采用的是“切、割化弦”法，化弦是三角恒等式证明中常用的基本思想方法。四、添项配方法。例7：求证：sin8+cos8=1－4sin2·cos2+2sin4·cos4证明：左边=sin8+cos8－2sin4·co

6、s4+2sin4·cos4=(sin4－cos4)2+2sin4·cos4=(sin2+cos2)2·(sin2－cos2)2＋2sin4·cos4=(sin2－cos2)2＋2sin4·cos4=(sin2+cos2)2－4sin2·cos2+2sin4·cos4=1－4sin2·cos2+2sin4·cos4=右边.∴sin8+cos8=1－4sin2·cos2+2sin4·cos4成立。三角恒等变换题的解答，方法不一，灵活多变，关键要善于辨别差异，把握证题方向，灵活运用公式及解题技巧，才能够提高三角恒等证题能力。