面积问题评说

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1、面积问题评说　　第二十六讲面积问题评说　　　平面几何学的产生起源于人们对土地面积的测量，面积是平面几何中一个重要的概念，联系着几何图形中的重要元素边与角．　　　计算图形的面积是几何问题中一种常见问题，求面积的基本方法有：　　　1．直接法：根据面积公式和性质直接进行运算．　　　2．割补法：通过分割或补形，把不规则图形或不易求解的问题转化为规则图形或易于求解的问题．　　　3．等积法：根据面积的等积性质进行转化求解，常见的有同底等高、同高等底和全等的等积转化．　　4．等比法：将面积比转化为对应线段的比．　　熟悉以下基本图形中常见的面

2、积关系：　　注等积定理：等底等高的两个三角形面积相等．　　等比定理：(1)同底(或等底)的两个三角形面积之比等于对应高之比，同高(或等高)的两个三角形面积之比等于对应底之比；(2)相似三角形面积之比等于对应线段的平方比．　　　例题求解　　　【例1】在梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD相交于点O，若AC=5，BD=12，中位线长为，△AOB的面积为S1，△COD的面积为S2，则=　　　．　　(山东省竞赛题)　　思路点拨本例综合了梯形、面积等丰富的知识，图形中有重要面积的关系：S△AOD=S△BOC=，S梯形ABCD=S1+S

3、2+=(读者证明)，于是将问题转化为求梯形ABCD的面积．　　　【例2】如图，在△ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BD⊥CE，BD＝4，CE=6，那么△ABC的面积等于(　　)　　A．12　B．14　C．16　D．18　　(全国初中数学联赛试题)　　思路点拨由中点想到三角形中位线，这样△ABC与四边形BCDE面积存在一定的关系，只要求出四边形BCDE面积即可．　　　【例3】如图，P、Q是矩形ABCD的边BC和CD延长线上的两点，AP与CQ相交于点E，且∠PAD=∠QAD，求证：S矩形ABCD=S△APQ．(重庆

4、市竞赛题)　　　思路点拨把面积用相应的线段表示，面积的证明问题就转化为线段的等积式的证明．注意等线段的代换．　　　【例4】如图甲，AB、CD是两条线段，M是AB的中点，S△DMC、S△DAC、S△DBC分别表示△DMC、△DAC、△DBC的面积，当AB∥CD时，有S△DMC=•　　(1)如图乙，若图甲中AB不平行CD，①式是否成立?请说明理由；　　(2)如图丙，若图甲中A月与CD相交于点O时，问S△DMC和S△DAC和S△DBC有何种相等关系?试证明你的结论．(安徽省中考题)　　　思路点拨对于(1)，因△DMC、△DAC、△D

5、BC同底，要判断①式是否成立，只需寻找它们的高之间的关系：对于(2)，由于M为AB中点，可利用等积变换得到相等的面积关系，通过建立含S△DMC、S△DAC、S△DBC的等式寻找它们的关系．　　注本例综合了三角形、梯形中位线、等积变形等知识，要求我们在动态型数学情景下进行观察、分析、探索、猜想和论证．　　　通过强化或弱化条件，改变图形的位置等方式进一步探究问题是发展几何问题的重要途径．　　　【例5】如图，设P为△ABC内任意一点，直线AP、BP、CP交BC、CA、AB于点D、E、F．　　求证：（1）；（2）．　　　思路点拨过P点

6、、A点分别作BC的垂线，这样既可得到平行线，产生比例线段，又可与面积联系起来，把羔转化为面积比，利用面积法证明．　　注有些几何问题，虽然题目中没有直接涉及面积，但由于面积关联着边角两个重要元素，所以我们可从面积角度思考问题，这就是常说的面积法．　　　用面积法解题的基本步骤是：　　　(1)用不同方法或从不同角度计算某一图形面积，得到一个含边或舍角的关系式．　　　(2)化简这个面积关系式，直至得到求解或求证的结果．　　　当问题涉及三角形的高、垂线或角平分线时，不妨用面积法试一试．　　学力训练　　1．如图，是一个圆形花坛，中间的鲜花

7、构成了一个菱形图案(图中尺寸单位为米)，如果每平方米种植鲜花20株，那么这个菱形图案中共有鲜花　　　株．　　(第14届“希望杯”邀请赛试题)　　2．如图，矩形内有两个相邻的正方形面积分别为4和2，那么阴影部分的面积为　　　．　　(2003年上海市中考题)　　3．如图，在△ABC中，∠B=∠CAD，，则=　　　．　　(重庆市竞赛题)　　4．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝a，CD=b(a

8、B=∠D=90°，BC=2，AD=2，则四边形ABCD的面积为(　)　　A．4　B．4　　C．4　D．6　(湖北省荆州市中考题)　　6．ABCD是边长为1的正方形，△BPC是等边三角形，则厶BPD的面积为(　)　　A．　　B．　C．　D．　　(武汉市选拔赛题)　　7．如图，在