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时间:2018-10-08
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1、面积问题评说 第二十六讲面积问题评说 平面几何学的产生起源于人们对土地面积的测量,面积是平面几何中一个重要的概念,联系着几何图形中的重要元素边与角. 计算图形的面积是几何问题中一种常见问题,求面积的基本方法有: 1.直接法:根据面积公式和性质直接进行运算. 2.割补法:通过分割或补形,把不规则图形或不易求解的问题转化为规则图形或易于求解的问题. 3.等积法:根据面积的等积性质进行转化求解,常见的有同底等高、同高等底和全等的等积转化. 4.等比法:将面积比转化为对应线段的比. 熟悉以下基本图形中常见的面
2、积关系: 注等积定理:等底等高的两个三角形面积相等. 等比定理:(1)同底(或等底)的两个三角形面积之比等于对应高之比,同高(或等高)的两个三角形面积之比等于对应底之比;(2)相似三角形面积之比等于对应线段的平方比. 例题求解 【例1】在梯形ABCD中,AB∥CD,AC、BD相交于点O,若AC=5,BD=12,中位线长为,△AOB的面积为S1,△COD的面积为S2,则= . (山东省竞赛题) 思路点拨本例综合了梯形、面积等丰富的知识,图形中有重要面积的关系:S△AOD=S△BOC=,S梯形ABCD=S1+S
3、2+=(读者证明),于是将问题转化为求梯形ABCD的面积. 【例2】如图,在△ABC中,已知BD和CE分别是两边上的中线,并且BD⊥CE,BD=4,CE=6,那么△ABC的面积等于( ) A.12 B.14 C.16 D.18 (全国初中数学联赛试题) 思路点拨由中点想到三角形中位线,这样△ABC与四边形BCDE面积存在一定的关系,只要求出四边形BCDE面积即可. 【例3】如图,P、Q是矩形ABCD的边BC和CD延长线上的两点,AP与CQ相交于点E,且∠PAD=∠QAD,求证:S矩形ABCD=S△APQ.(重庆
4、市竞赛题) 思路点拨把面积用相应的线段表示,面积的证明问题就转化为线段的等积式的证明.注意等线段的代换. 【例4】如图甲,AB、CD是两条线段,M是AB的中点,S△DMC、S△DAC、S△DBC分别表示△DMC、△DAC、△DBC的面积,当AB∥CD时,有S△DMC=• (1)如图乙,若图甲中AB不平行CD,①式是否成立?请说明理由; (2)如图丙,若图甲中A月与CD相交于点O时,问S△DMC和S△DAC和S△DBC有何种相等关系?试证明你的结论.(安徽省中考题) 思路点拨对于(1),因△DMC、△DAC、△D
5、BC同底,要判断①式是否成立,只需寻找它们的高之间的关系:对于(2),由于M为AB中点,可利用等积变换得到相等的面积关系,通过建立含S△DMC、S△DAC、S△DBC的等式寻找它们的关系. 注本例综合了三角形、梯形中位线、等积变形等知识,要求我们在动态型数学情景下进行观察、分析、探索、猜想和论证. 通过强化或弱化条件,改变图形的位置等方式进一步探究问题是发展几何问题的重要途径. 【例5】如图,设P为△ABC内任意一点,直线AP、BP、CP交BC、CA、AB于点D、E、F. 求证:(1);(2). 思路点拨过P点
6、、A点分别作BC的垂线,这样既可得到平行线,产生比例线段,又可与面积联系起来,把羔转化为面积比,利用面积法证明. 注有些几何问题,虽然题目中没有直接涉及面积,但由于面积关联着边角两个重要元素,所以我们可从面积角度思考问题,这就是常说的面积法. 用面积法解题的基本步骤是: (1)用不同方法或从不同角度计算某一图形面积,得到一个含边或舍角的关系式. (2)化简这个面积关系式,直至得到求解或求证的结果. 当问题涉及三角形的高、垂线或角平分线时,不妨用面积法试一试. 学力训练 1.如图,是一个圆形花坛,中间的鲜花
7、构成了一个菱形图案(图中尺寸单位为米),如果每平方米种植鲜花20株,那么这个菱形图案中共有鲜花 株. (第14届“希望杯”邀请赛试题) 2.如图,矩形内有两个相邻的正方形面积分别为4和2,那么阴影部分的面积为 . (2003年上海市中考题) 3.如图,在△ABC中,∠B=∠CAD,,则= . (重庆市竞赛题) 4.如图,梯形ABCD中,AB∥CD,AB=a,CD=b(a
8、B=∠D=90°,BC=2,AD=2,则四边形ABCD的面积为( ) A.4 B.4 C.4 D.6 (湖北省荆州市中考题) 6.ABCD是边长为1的正方形,△BPC是等边三角形,则厶BPD的面积为( ) A. B. C. D. (武汉市选拔赛题) 7.如图,在
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