任意角和其度量

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1、任意角及其度量（3课时）一、任意角定义：角是由平面内一条射线绕着其端点从初始位置（始边）旋转到终止位置（终边）而形成的图形．规定：一条射线绕端点按逆时针方向旋转所形成的角为正角；按顺时针方向旋转所形成的角为负角．特别地，当一条射线没有旋转时，我们也认为形成了一个角，这个角叫做零角．例1、已知：主动轮与被动轮相向旋转，它们的齿数之比是3:5，求当主动轮逆时针方向旋转5周时，被动轮旋转的角度．–1080°二、直角坐标系中的角例2、(1)观察：390°，-330°角，它们的终边都与30°角的终边相同；(2)终边相同的角都可以表示成一个0°到360°的角与k个周角的和3

2、0°=30°+0×360°(k=0)390°=30°+360°(k=1)–330°=30°–360°(k=–1)1470°=30°+4×360°(k=4)–1770°=30°-5×360°(k=–5)(3)所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合．即：任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．例3、课本第30页的例1．判别下列各角分别属于哪个象限：(1)–200°；(2)2000°．三、角度制与弧度制定义：我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，即用弧度制度量时，这样的圆心角等于1rad．其中l是以角a作为圆心角时所对弧的长

3、，r是圆的半径．概念：这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制．注：弧度是两个长度的比值，在不引起混淆的情形下，可以省略单位“rad”或“弧度”．角的集合与实数集R之间的对应关系：1、把角度换成弧度2、把弧度换成角度例4、(1)把67°30’化成弧度；(2)把rad化成度．解：(1)，(2)．我们知道，所有的圆都相似，两圆的相似比=，每个圆的周长与半径之比是常数2π，记周角=2πrad．因此平角=πrad，直角=rad，进而可得（请学生填第二行）度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度问：长度等于半径长的弧所对的圆

4、心角=_________________________rad．例5、找出下列同终边角的最大负角：(1)；(2)；(3)5π．(1)；(2)；(3)-p．【归纳小结】1、2、学习了角的弧度和弧度制的定义，要熟记特殊角的弧度数；3、角度制与弧度制的互化：180°=πrad．对于角α，设它的角度为n°，它的弧度为θ，则满足公式：．四、扇形的弧长与面积填课本第32页的表1一般地，如果一个半径为r的圆心角a所对的弧长为l，那么比值就是角a弧度数的绝对值，即．例6、课本第33页的例4．如图，已知扇形的圆心角的弧度数为α（0<α<2π），半径为r，弧长为l，面积为S．求证：

5、（1）l=αr；（2）；（3）公式：，，．注：扇形中有关的基本量有四个r,l,a,S，只要知道其中的2个量就可求出其它的量．例7、一个半径为R的扇形，它的周长是4R．求这个扇形所含弓形的面积．解：例8、《数学教学目标与课堂教学设计》书105页．如图，弓形ABC所在的半径为1，如果弓形的弧的长为x，弓形的面积为y，试写出y关于x的函数关系式。解：，问：如果x>p呢？例9、一绳索绕在半径为40厘米的轮圈上．绳索的下端B处悬挂着物体W（如图）．如果轮子按逆时针方向每分钟匀速旋转6圈，那么需要几秒才能把物体W的位置向上提升100厘米？解：（秒）．例10、两个齿轮相向旋转

6、，其中大齿轮逆时针旋转．已知：两齿轮的半径大小分别是R、r，大齿轮的角速度是ω．用ω、R、r表示小齿轮的角速度θ．解：．【归纳小结】扇形的弧长与面积公式：l=ar，；五、角的加、减运算与终边的关系例11、(1)写出终边分别在x轴、y轴正负半轴的角的集合；(2)写出终边分别在x轴、y轴的角的集合；(3)写出终边在坐标轴的角的集合．解：(1)终边在x轴正半轴的角的集合是，终边在x轴负半轴的角的集合是，终边在y轴正半轴的角的集合是，终边在y轴负半轴的角的集合是；(2)终边在x轴的角的集合是，终边在y轴的角的集合是；(3)终边在坐标轴的角的集合是．例12、在直角坐标系中

7、画出集合中角的终边．例13、写出直角坐标系中终边在直线y=-x上的角的集合．六、终边关于x轴、y轴、原点等对称的角例14、在直角坐标系中(1)角a与b的终边关于x轴对称，写出a、b满足的关系式；(2)角a与b的终边关于原点对称，写出a、b满足的关系式；(3)角a与b的终边关于y轴对称，写出a、b满足的关系式．例15、在直角坐标系中(1)角a与b的终边关于直线y=x对称，写出a、b满足的关系式；(2)角a与b的终边关于直线y=-x对称，写出a、b满足的关系式．七、象限角、轴线角与区间角例16、用区间表示终边在下列位置的角的集合．1）第一象限；2）第四象限；3）第二

8、、四象限；4）第一、四象