趣谈数学与物理关系

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1、趣谈数学与物理的关系阅][][]各门科学中，物理与数学关系最亲，可以说，数学是物理学最铁的铁哥们。其它科学，如：生物学、化学、医学等等，如果没有数学帮忙，还都能大差不差的过得去，唯独物理学，如果没有数学的话，那简直一天日子都过不下去。当初，要不是牛顿发明了微积分，他的三大力学定律和万有引力定律，就很难唱得出精彩的戏来。尽管，数学家不是一心想去物理学家去攀亲戚，他们多半时间象是山里的隐士，让自己的头脑在逻辑天空中尽情翱翔，对凡尘的事置之度外。然而，物理学家的日子可没有那样潇洒，他们必须在第一线打拼。有时实在没辙，就去求教数学家，犹如当年三顾茅庐的刘玄德。你还别说，数学家

2、家手头还往往有现成的锦囊妙计。当年，爱因斯坦一心想根据惯性质量与引力质量相等的原理，搞一个引力理论，然而，一连苦思冥想了好多年，都毫无进展。让他苦恼的是，在引力作用下，空间会发生扭曲，而欧几里得几何学却对此毫无办法。后来，幸好他的好友格罗斯曼告诉他，法国数学家黎曼研究出的一套几何学，应该能帮他解决烦恼。果然，爱因斯坦有了黎曼几何这一有力武器后，就顺顺当当的建立了广义相对论。另一件有趣的事是发生在量子力学建立的初期。当时，德国青年科学家海森堡为了解决微观问题，独创了一种代数。在这门代数中，乘法交换律不再成立，也就是说，A乘B不等于B乘A。初看起来似乎有点匪夷所思。然而，

3、数学家一眼就看出，不过是早已有之的矩阵代数而已。于是，海森堡把自己的力学称为矩阵力学，与此同时，奥地利科学家薛定谔开发了一套波动力学。后来，薛定谔证明了，矩阵力学和波动力学数学上是同一回事。今天，就都被称为量子力学了。而今天，物理学家们高度重视对称性问题，而研究对称性的群论，早就在数学家手中盘得滚瓜烂熟了。随着物理学的进展，概念越来越抽象，一天天向数学靠拢。当年，拉格朗日出版了一本力学专著，从第一页到最后一页，没有一张插图，从头到底都是数学公式。书中唱大戏的是一个被称为“作用量”的量。任何第一次接触到作用量的人都会满脸疑惑，这作用量究竟是什么玩意儿：能量吗？——否也；

4、质量？——否也；力量？——否也。那究竟是什么？——动能减势能也。依然疑问重重，动能减势能又算是什么玩意儿？答曰，动能减势能即为作用量。总之，你休想用任何具体生动的概念去描画它，作用量者，作用量也。尽管如此，它却是一条再硬不过的死规定：任何物体在空间移动时，必定循着作用量改变最小的路径走。这又是为什么？没有道理可讲，理解得执行，不理解也得执行，在执行中理解，在执行中增加感情。捧起数学书去啃吧，到时候，理解和感情自然会产生。热力学同样又是一门高度抽象的物理学分支。热力学里的那些熵、焓、自由能等等玩意儿，要多抽象有多抽象。难怪一位热力学的教授说，“女孩子学这门课，常常会哭鼻

5、子。”热力学以三大定律为基础，用状态函数全微分、麦克斯韦尔偏微分关系，和可逆过程的路线积分等一连串数学，让未来的工程师们头晕目眩，却建立起一座宏伟的大厦，严谨程度不亚于欧几里得几何学。难怪，当初波尔兹曼企图把分子统计理论引进热力学时，遭到当时热力学权威的顽固抵制。在他们眼里，波尔兹曼是在往美丽宏伟的热力学宫殿里乱撒灰尘，这还了得！而电动力学里的电磁波，电场和磁场纵横交错波动，而且，在没有载体的真空里照样能兴风作浪。王安石曾解释汉字的“波”为“水之皮”。显然，他眼里反过来的意思就是，水乃波之肉也。按此方式思考，电磁波成了不附肉之皮了。个中之玄机，除了用数学公式，很难把握

6、得了。量子力学里，粒子既有微粒性又有波动性，更是日常生活难以想象的，也只有数学函数能说得清楚。所以，今天的许多基础物理概念，常必须依靠数学来加以诠释。或许，世界正如毕达哥拉斯所想象的那样，是由数构成的。但是，也别以为，物理学家的一切苦恼，数学家都能帮忙解决，事实远非如此。与物理学关系最密切的数学分支是微分方程，几乎所有的物理学分支都与微分方程结下不解之缘。同一个微分方程可以解答许多物理问题，也可以有无数多个解。有人会有疑问了，那么多的解，该选哪个好？其实，这倒不用担心的，一旦把这个方程的初始条件和边界条件拿准了，这个方程的解也就定了下来。然而，当今的数学家们往往只有在

7、在十分理想的条件下，才能提供微分方程的严格解。对于边界简单的状况，如：圆形、矩形等等，有时还能对付得过去。而实际情况往往要复杂得多，比如，建筑师会想出各种各样的建筑外形来，越是怪异，他就越能出名。例如，澳大利亚的悉尼歌剧院的屋顶，真是要多就多美，可是，要想求得屋顶各处的受力情况，即使再等上一百年也未必能得到严格解。正如俗话说的，“文官动动嘴，武官跑断腿。”出名的是建筑师，累死的是结构师。这种情况下，要是没有大型计算机，结构师即使活活累死还是没辙。实际山，计算机用的是一种求近似解的方法：将无穷小的微分用有限小的差分，如：0.1，0.001或0.0001