圆周率的概念

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1、圆的周长与直径之比是个与圆的大小无关的一个常数，人们称之为圆周率。巴比伦人最早发现了圆周率。1600年，英国威廉奥托兰特首先使用pi表示圆周率，因为pi是希腊之“圆周”的第一个字母，而是“直径”的第一字母。当直径=1时，圆周率为pi。1706年，英国的琼斯首先使用pi。1737年，欧拉在其著作中使用后来被数学家广泛接受，一直沿用至今。公元前200年间古希腊数学家阿基米德首先从理论上给出pi值的正确求法。公元前150年左右，另一位古希腊数学家托勒密用弦表法给出了pi的近似值3.1416。公元200年间，我国数学家刘薇在注释

2、《九章算术》中独立发现了用几何方法求圆周率的方法，称之为“割圆术”。公元460年，南朝的祖冲之利用刘薇的割圆术，把值算到小数点后第七位3.1415926。1579年法国韦达发现了关系式，首次摆脱了几何学的陈旧方法，寻求到了pi的解析表达式。1650年瓦里斯把pi表示成无穷乘积，无穷连分数，无穷级数等各种值表达式纷纷出现，值计算精度也迅速增加。1761年，数学家兰扪特证明了pi是一个无理数，即它是一个无限不循环的小数，不能表示成任何两个整数之比。1882年，德国数学家林徳曼证明了圆周率是一个超越数，即它不是任何一个整系数代

3、数多项式方程的根。林德曼也因此间接解决了困惑人们两千多年的化圆为方问题，说明了该问题尺规作图的不可能性。假设n是有理数，则11=3/13,(a,b为自然数)令f(x)=(xAn)[(a-bx)An]/(n!)若0

4、(4)--+[(-l)An][f(x)]A(2n)，(表示偶数阶导数)由于n!f(x)是x的整系数多项式，且各项的次数都不小于n，故f(x)及K•各阶导数在x=0点处的值也都是整数，因此，F(x)和F(n)也都是整数。又因为d[F’(x)sinx-F(x)conx]/dx=FM(x)sinx+F'(x)cosx-F(x)cosx+F(x)sinx=Fn(x)sinx+F(x)sinx=f(x)sinx所以有：J'f(x)sinxdx=［F(x)sinx-F(x)cosx］，(此处上限为II，下限为0)=F(ri)+F(0

5、)上式表示/f(x)sinxdx在［0，n］区间上的积分为整数，这与(1)式矛盾。所以n不是有理数，又它是实数，故n是无理数。这个问题最甲•是由德国数学家Lambert在17世紀证明山来的.他的证明是把tan(m/n)写成一个繁分数的形式，如果m/n是有理数，这个繁分数的项数就是无穷的，但是根据繁分数的性质，项数是无穷的繁分数表示的的是一个无理数.巾于这个命题是真(繁分数的性质)，这句话的逆反命题，也就是对于项数有限的繁分数，m/n是无理数也是真.tan(pi/4)=l，l是有限项的繁分数，所以pi/4是无理数.现在还有

6、好多别的证明方法.比方说可以用证明自然对数底e是无理数的反正法来证.大体来说就是建立一个大于0的数的数列，然后如果假设pi是有理数，这个数列会同时是一个大于0(不是大于等于)，并且向0无限接近的数列，然后得出pi只能是无理数.先来看什么是代数数.设《是一个实数，如果有整数％’“1’“2’……5n>0)^使得“适合代数方程aoun+a}ufl~［+a2un~2++an_xu+an=0，(96)那末《就叫做代数数.《所能适合的整系数代数方程(96)可以不止一个，它们的次数n中最低的那个《就称为z/的次数.不是代数数的实数就叫

7、做超越数.m—r我们在平面儿何里已经知道，给定长度是r的线段，可以用直尺和圆规作出长度是〃(m、n都是正整数)的线段：也可以作出一条线段，使它的长度的平方等于n因此，反复进行上述的手续，就可以看出：有限次地应用直尺和圆规，可以从给定的单位长度的线段/出发，作出长度是〃的线段，这里《是由有限个有理数经过有限次加，减，乘，除，开平方等运算所得到的数.而且重要的是，后来人们证明了：对于给定单位氏度的线段/,如果我们限于有限次地应用直尺和圆规来作出长度是W的线段的话，那末这个《必须是由有限个有理数经过有限次加，减，乘，除，开平方

8、等运算后所得的数.因此，这个w只能是代数数.如果H是超越数，那末就作不出所求的线段了.这样一来，就把有限次地应用直尺和圆规解变圆为方的问题归结为，II是不是有理数经过有限次加，减，乘，除，开平方所得到的数.因此人们看到，如果II是超越数，那末，有限次地应用直尺和圆规來解变圆为方的问题是不可能的