圆周率的计算

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1、圆周率是人类获得的最古老的数学概念之一,早在大约3700年前的古埃及人就已经用256/81（约3.1605）作为它的近似值了.几千年来,人们一直没有停止过计算其精确值的努力.“历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度,可以作为衡量这个国家当时数学发展水平的指标”_____康托两个任务:了解圆周率的计算过程设计计算圆周率的方法实验一圆周率的计算1、实验时期通过实验进行估算,这是计算圆周率 的的第一阶段中国:“圆径一而周三”----《周髀算经》(2)“周三径一,方五斜七”----木工口诀古埃及：数谷粒与称重量：2、几何算法用圆内接正多边形和圆外切正多边形逼近的方法6边形12边形24边形圆刘徽:割之

2、弥细,所失弥少.割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣3.14145240288(n=3072)阿基米德祖冲之的这一研究成果享有世界声誉:巴黎“发现宫”科学博物馆的墙壁上著文介绍了祖冲之求得的圆周率,莫斯科大学礼堂的走廊上镶嵌有祖冲之的大理石塑像,月球上有以祖冲之命名的环形山……公元5世纪,祖冲之《隋书·律历志》：“宋末,南徐州从事祖冲之更开密法.以圆径一亿为丈,圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽,朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽,正数在盈朒二限之间.密率:圆径一百一十三,圆周三百五十五约率,圆径七,周二十二。”1579年,韦达证明1630年,德国人鲁道夫:小数点以后35位

3、1150年,印度数学家婆什迦罗:3.141614241424年,中亚细亚数学家卡西:3.14159265358979325……….3.141 592 653 589 794 238 462 643 383 279 502 883、分析方法从十七世纪中叶起,人们开始用分析方法来求π的近似值,其中应用的主要工具是收敛的无穷乘积和无穷级数.麦琴(Machin)给出(Machin公式)1656年,沃里斯(Wallis)证明取k=10取k=20欧拉证明了(1735)注：BaselProblem,1644年提出1、Buffon投针1.在白纸上画上许多条间距为d的平行直线2.取长为l(l

4、投掷在白纸上,投掷n次,观察与直线相交的次数,记为m.4、概率方法针线相交的概率随机投针的概率含义针的中点M与平行线的距离x均匀分布于区间[0,d/2]针与平行线的交角均匀分布于区间记针的中点为M,x表示点M与较近的平行线间距离,θ表示针与平行线间夹角在间隔为d的平行线间随机投掷长度为l的针[0,d/2]中随机选取x,[0,π]中随机产生θ,构成平面中点[x,θ]计算针和直线相交的概率是设投掷n次,相交m次,则针与线相交的频率为m/n针与平行线相交的条件n=2212,Buffon:π=3.142;n=5000,Wolf:π=3.1593d=45;l=36;n=20000;x=[];y=[];

5、P=[];Q=[];fori=1:n,x1=rand*d*0.5;y1=rand*pi;if2*x1<=l*sin(y1),x=[x,x1];y=[y,y1];elseP=[P,x1];Q=[Q,y1];endendm=length(x),p=2*l*n/(d*m)s=0:0.01:pi;plot(s,l*sin(s)/2,'k','Linewidth',2)holdonplot(y,x,'r.'),plot(Q,P,'b.'),plot([0,pi],[0,0],'k','Linewidth',2),plot([0,pi],[22.5,22.5],'k','Linewidth',2)plo

6、t([0,0],[0,22.5],'k','Linewidth',2),plot([pi,pi],[0,22.5],'k','Linewidth',2)axis([-0.2,3.3,-2,24])利用蒙特卡洛算法计算圆周率利用蒙特卡洛算法计算定积分2、互素数分布取一个大整数N,在1到N之间随机取一对整数a,b,它们互素的概率注：随机整数randint(1,1,[])求a,b最大公约数gcd(a,b)5、数值积分方法数值积分方法6、代数迭代对正数a0,b0,定义算术均值数列和几何均值数列若两数列极限相等,则称此极限为它们的算术几何均值,记为AGM(a0,b0)取则有记年代19491973198

7、919992011精确位数2035100万10亿2061亿2000万亿“十位小数就足以使地球周界准确到一英寸以内,三十位小数便能使整个可见宇宙的四周准确到连最强大的显微镜都不能分辨的一个量。”——西蒙·纽克姆实验一小结1、几何算法:割圆法,正多边形逼近圆2、分析算法:无穷级数,有限项逼近无穷项3、数值分析:定积分计算,矩形逼近曲边梯形4、概率统计:蒲丰投针、整数互素……提示:思考题(1)能设计其它计算圆周率的