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1、§1.1.1变化率问题学习目标1.知识与技能平均变化率的概念;平均变化率的几何意义，函数在某点处附近的平均变化率2.过程与方法理解平均变化率的概念;会求函数在某点处附近的平均变化率3.情感态度与价值观学习重点平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率学习难点平均变化率的概念.学习连接学习过程一、创设情景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关:一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;二、求曲线的切线;
2、三、求已知函数的最大值与最小值;四、求长度、面积、体积和重心等.导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具.导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度.二、新课讲授(一)问题提出问题1气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?气球的体积(单位:)与半径(单位:)之间的函数关系是如果将半径表示为体积的函数,那么分析:(1)当从增加到时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为
3、(2)当从增加到时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了.思考:当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?hto问题2高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度(单位:)与起跳后的时间(单位:)存在函数关系.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?思考计算:和的平均速度在这段时间里,在这段时间里,探究:计算运动员在这段时间里的平均速度,并思考以下问题:(1)运动员在这段时间内使静止的吗？(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程
4、:如图是函数的图像,结合图形可知,,所以虽然运动员在这段时间里的平均速度为,但实际情况是运动员仍然运动,并非静止,可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.(二)平均变化率概念1.上述问题中的变化率可用式子表示,称为函数从到的平均变化率.2.若设,(这里看作是对于的一个“增量”可用代替,同样)则平均变化率为思考:观察函数的图象平均变化率表示什么?三、典例分析例1已知函数的图象上的一点及临近一点则.解:∴例2求在附近的平均变化率.解:所以所以在附近的平均变化率为四、课堂练习1.质点运动规律为,则在时间中相应的平均速度为.2.物体按照
5、的规律作直线运动,求在附近的平均变化率.3.过曲线上两点和作曲线的割线,求出当时割线的斜率.五、回顾总结1.平均变化率的概念.2.函数在某点处附近的平均变化率.六、布置作业P101.2.3
