11-第11讲 相似变换及对角化问题(窄)

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1、第十一讲相似变换与对角化问题教学目的：1.介绍相似变换：定义、性质、应用；2.介绍方阵的对角化问题：（1）概念、实施：“可对角化”的条件；（3）实对称阵正交相似于对角阵。教学内容：§6.2矩阵的相似变换；§6.3实对称矩阵的对角化。教案提纲：u引言：“可逆的矩阵变换”的一般概念：——初等变换：只保规格和秩，不满足需要；§6.2矩阵的相似变换一、相似变换：1.相似变换的概念：一种较高级的初等变换：定义6.2设、为阶方阵，若有同阶可逆阵，满足（6.13）则说相似于，又称是的相似矩阵，记作～。称上式为对作相似变换，为相似变换矩阵。l由定义式（6.13）可以推出

2、；反之，仅当可逆时，才能由倒推到定义式，所以两者并不等价。注意变换的“方向”：2.相似变换的性质：（1）是初等变换的特例：仍具等价性，保规格、保秩（定理6.5）；定理6.5相似关系为等价关系，即满足等价公理：ⅰ）反身性：～；ⅱ）对称性：～，则～：ⅲ）传递性：～，～，则～。理由很简单：与都是可逆阵。因此，相似变换具有初等变换的一般性质：保规格、保秩。（2）特有性质：保特征值（定理6.7），因而也保行列式、保迹（推论）；定理6.7相似变换保持特征值不变，即若～，则与有相同的特征值。证设～，则存在可逆阵，使。由于，可见相似矩阵与有相同的特征多项式，因此它们有相

3、同的特征值。◆推论若～，则有和。证因为行列式是特征值之积，而迹是特征值之和。◆l注意：反之不然。（3）矩阵运算与相似关系（定理6.6）定理6.6设～，变换阵为，则：（1），～，变换阵仍为；（2）～（为正整数），变换阵仍为；（3）若为一个多项式，则～，变换阵仍为；（4）～，相似变换阵为；（5）若可逆，则也可逆，且～，～，变换阵仍为。这个定理的证明只要运用定义即可，留给读者作为练习。（让学生思考，见习题6.11）。二、方阵的对角化与相似标准形：1.“对角化”的概念：特指用相似变换化为对角形；（定理6.8→定义6.3，“相似标准形”）；定理6.8若与对角阵相似

4、，则对角元就是的个特征值。证记，（6.14）则由，可知就是的所有特征值。由于～，故也就是的所有特征值。◆l反过来提出问题：如果求出的特征值，记，问是否能相似于对角阵？定义6.3若存在可逆阵，使，则说是可对角化的，称为的相似标准形。那么，任给一个方阵，如何判断它是否可对角化呢？这个问题的关键在于：是否能找到所需的相似变换阵？2.如果可对角化，则应如何实施？——则如何寻找变换阵？我们考察：如果可对角化，则相似变换阵应满足什么条件？据定义6.3，实际上是矩阵方程的可逆解。如果能求出这个解并验证它可逆，则它就是所求的相似变换阵。为此将按列分块，记作，（6.15）

5、由可得，（6.16）即，从而（6.17）由此可知应是的属于的特征向量。由此可知：当可对角化，即存在可逆的变换矩阵时，必有个线性无关的特征向量，即的列向量；反之，若有个线性无关的特征向量时，由它们组成的可逆阵一定能把对角化。3.方阵可对角化的条件：条件，举例（1）基本的充要条件：定理6.9阶方阵可对角化的充要条件是：有个线性无关的特征向量。证由上面的实施过程即可导出。（2）一个推论（一个充分而非必要条件）：推论如果阶方阵有个不同的特征值，则必可对角化。证因为属于不同特征值的特征向量必线性无关。（3）另一个充要条件：所有特征值的代数重数与几何重数全相等。（不

6、证，举例说明。）4.对角化的一个应用：计算方阵的高次幂（例6.5）；例6.5设，求。解直接计算显然不可能，我们利用对角化来计算。由于是上三角阵，其特征值就是主对角元1、－1、0，求得所属的特征向量分别为，因三个特征值互不相同，则三个特征向量必线性无关，故可对角化，相似变换阵为，其逆阵为。据定理6.6（2）有，故，最终求得：。¯不完全符合条件的有时可“将就”：相似于分块对角阵（介绍Jordan标准形）、广义相似、某些特殊的矩阵（如实对称阵）；§6.3实对称阵的对角化一、实对称阵的性质：结论：必可找到一个正交变换将其对角化（未必唯一）。若阶实方阵满足，则称其

7、为阶实对称阵。实对称阵有很好的性质：定理6.10实对称阵的特征值全是实数，特征向量也全是实向量。本定理的证明略，有兴趣的读者可见参考文献[9]，p.232。定理6.11实对称阵的属于不同特征值的特征向量相互正交。证设、是实对称阵的两个不同的特征值，、分别是属于它们的特征向量，即有，。对内积乘得：，于是得，由于，所以，从而与正交。◆定理6.12设为阶实对称矩阵，是的特征方程的重根，则矩阵的秩，从而特征值恰有个线性无关的特征向量。也就是说，实对称阵的每一个特征值的几何重数都等于其代数重数。本定理的证明也略去，有兴趣的读者可见参考文献。定义6.4在相似变换式中

8、，如果变换阵是正交阵，则称上述变换为正交变换，说正交相似于矩阵。如果能经正交变换