物理奥林匹亚竞赛试题与解答

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1、物理奧林匹亞競賽試題與解答文/林明瑞本刊徵得物理奧林匹亞國家代表隊選訓小組的同意，每期精選若干試題和解答，以饗讀者。本期刊登二道試題。【本期試題評註】：打水漂兒一直是童年，也是成人暫時寄託想像的遊戲！從感性來看，一塊扁平的小石頭在平靜如鏡的水面上，彈跳起落，在空間上畫出一道道相連的弧形，在水面上則漾起一圈圈的漣漪，引人遐想；從理性來看，你也可從本題的解答中，感受到分析的巧思和物理智慧的閃耀光芒！物理雙月刊（廿八卷六期）2006年12月989打水漂兒(ricochetorstoneskipping)的簡化模型許多人都曾玩過打水漂兒的

2、遊戲。經驗上，石頭要夠扁平、夠圓；丟石頭的速度要夠快且與水面之夾角要小；再加上對石頭中心軸的旋轉，可以把水漂兒打得次數多且遠。世界上有許多業餘的打水漂兒比賽，目前水漂兒彈跳次數的非正式世界紀錄為38次，由J.Coleman-McChee於1992所創。從力學上來嚴格分析打水漂兒的過程，需要分析當石頭和水面碰撞時，水面及水面下的流體運動的細節，然而若只要大致了解石頭和水之間的碰撞過程，下述的簡化模型已足夠給予半定量的了解。(a)物體部分浸入流體中時所受的昇力(liftforce)圖一物體在流體表面層中運動時，會受到昇力和阻力的作用，

3、因此需要施加外力，物體才能維持等速度運動。若物體的速度夠大，可不計黏滯力的作用，則由於流體在衝擊物體表面的前後，相對速度發生了變化，因此流體對物體產生了昇力。如圖一所示，設為流體的密度，流體以相對於物體的速度入射該物體的某一表面，反彈後射出的相對速度變為，圖中為該表面的法線方向，試求在物體表面上單位面積沿法線方向所受的昇力。(b)石頭完全進入水中的運動除了昇力外，物體在流體中運動時也受到阻力的作用。當石頭以速度v完全進入靜止的水中後，相對於石頭而言，水的流速與平行，故流經物體的水流方向不變，因此可假設此時物體所受之力完全為阻力。若

4、物體速度夠大，可不計黏滯力的作用，則由於流體在物體附近速度的改變量與物體的速度v成正比。依據白努利定律，物體前後面的壓力差與和流體速度的平方差成正比，因此阻力與物體的速度的平方成正比，且方向與速度方向相反。試問當石頭完全進入水中後，水的阻力是否有可能使石頭在鉛直方向的運動，發生反轉向上的現象，而使石頭得以衝出水面？說明或證明你的結論。(c)石頭與水面接觸時的運動探討打水漂兒運動的重點，在於分析石頭與水面接觸碰撞期間，物理雙月刊（廿八卷六期）2006年12月989所受的昇力和阻力的作用。圖二所示為一典型打水漂兒所用的石頭接觸水面的側

5、視圖，設為石頭表面和水面之間的夾角，為石頭速度和水面之間的夾角，與各為平行和垂直石頭表面的單位向量，且、、和形z圖二zxAwy成一直角坐標系。依據以上的考慮，石頭所受來自流體的作用力，可以分成沿切線方向（）和法線方向（）的兩個分力，以下式表示之：(1)式中為石頭和水面相接觸的面積，和分別為與物體形狀有關的係數。一般而言，和各與和有關，即和及有關，不過在以下的理論模型中，將假設和皆為常數，這是因為打水漂兒所選用的和角都很小。為了方便分析，假設石頭為一方形的扁石塊，在和方向的邊長皆為b，且石頭的初速度夠大，使得石頭和水面的碰撞時間很短

6、，故在估算受力時，可以忽略速度隨時間的變化。若石頭的入射速度和其切面方向，以及與水面之間的夾角皆很小，設石頭的質量為m，回答下列問題：(i)在a固定的情況下，利用(1)式證明石頭浸入水中深度z的運動，即石頭在水中沿z方向的運動，為一受有定值外力作用的簡諧運動，寫出其運動方程式。（注意：在圖二中z=0為水面，且石頭浸入水中的深度z<0）。(ii)結合(b)小題，計算石頭與水面撞擊的時間（即自石頭開始接觸水面起，至第一次衝出水面止的時間），並計算能使石頭彈離水面的水平初速度分量的最小值。(iii)証明當石頭能在水面上反彈時，在撞擊時間

7、內，石頭在z方向所受流體的平均作用力為。(a)連續彈跳與最大彈跳次數承(c)小題，若石頭的初速夠大，可在水面上彈跳多次，但其沿x方向的速度分量因受阻力的作用而逐漸變小，因此打擊水面的漣漪隨彈跳次數的增加而顯得密集，如圖三所示。若，且入射速度與水面之間的夾角很小，回答下列問題：(i)証明在撞擊時間內，石頭在x方向所受的平均阻力與動摩擦力相似，即，並求出值，以已給的物理量如、等表示之。(ii)假設在每次碰撞時，可以忽略x方向速度分量的變化，估算阻力所作的功，以及石頭在水面上彈跳的最大次數nc，並求出石頭在每一次與水接觸的期間（即自射入

8、水面起至反彈出水面止），在水中所行走的水平距離。若，m=0.10kg，，b=0.10m，，估計投擲者在擲出38次打水漂兒世界紀錄時，所擲出石頭的初速度在水平方向的速度分量。(iii)若為石頭第n次在水面上跳躍的水平距離，試以n、、及石頭初速表示之，