圆多种不同位置关系

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1、圆的多种不同位置在圆中的点、线在圆中的位置分布可能有多种情况，经常会导致其答案的不唯一性。如：点与圆的位置关系，如点在圆内，,点在圆上，点在圆外；两条弦的位置关系：在圆心的同侧，在圆心的异侧；圆与圆相切，可能外切，也可能内切，等等。所以，求解圆的有关问题时，要注意分类讨论，警惕思维的陷阱。一、点与圆的位置关系不唯一性 　　例1.若所在⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b（a＞b），则此圆的半径为（  ）。 （A）  （B） （C）或   （D）a+b或a－b 分析：P可能在圆内，也可能在圆外。 　　　　　          

2、 图1—1                     图1—2⑴P在圆内时。如图1—1。 连接O、P所在的直线交⊙O于A、B。则PA=a，PB=b 直径AB=PA+PB=a+b，半径OA=OB=AB=（a+b） ⑵P在圆外时。如图1—2。此时直径AB=PA－PB=a－b，半径OA=OB=AB=（a－b）由⑴⑵可知，应选（C）。 　二、弦与弦的位置关系不唯一性 　　例2.⊙O的半径为5cm，弦AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm，则AB与CD之间的距离是（  ）。 （A）7cm   （B）8cm  （C）7cm或1cm    （D1cm 分析：弦AB

3、与CD可能在圆心的同侧，也可能在圆心的异侧。 　　　　　　　　　　　　　             图2—1                        图2—2⑴弦AB与CD在圆心的同侧。如图2—1。 过O作弦AB的垂线，交AB于M，交CD于N。连接OB，OD。 ∵AB∥CD，OM⊥AB，ON⊥CD由垂径定理，BM=AB=3cm，DN=CD=4cm，又OB=OD=5cm 在Rt△BMO中，OM==4cm，同理ON=3cm ∴MN=OM－ON=4－3=1cm ⑵弦AB与CD在圆心的异侧。如图2—2。 此时，MN=OM+ON=4+3=7cm     

4、  故选（C）。 　　例3．如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AB=2，AC=，在图中画出弦AD，使AD等于1，并求出∠CAD的度数。 分析：弦AC与弦AD可能在直径AB的同侧，可能在直径AB的异侧。 　　　　　 ⑴弦AC与弦AD在直径AB的同侧。如图3—1 连OC、OD。由OC=OD=AB=1，AC= ∴OC+OD=AC∴∠AOC=90°，∠CAO=∠ACO=45° 又OA=OD=AD，∴∠DAO=60° ∴∠DAC=∠DAO－∠CAO=15° ⑵弦AC与弦AD在直径AB的异侧。 此时，∠DAC=∠DAO+∠CAO=105° 　三、弦所

5、对圆周角的不唯一性 　　例4．圆的一条弦长等于它的半径，那么这条弦所对的圆周角为（  ）。 （A）30°或60°（B）60°（C）150°（D）30°或150°      （B）     分析：弦（不是直径）所对的弧有两条，一条优弧，一条劣弧， 因此，一条弦所对的圆周角也有两个，并且这两个圆周角互补。 如图4。劣弧所对的角为∠ACB，优弧所对的角为∠ADB。 由AB=0A=OB，∴∠AOB=60° ∴∠ACB=∠AOB=30° ∠ADB=（360°－∠AOB）=（360°－60°）=150°  故选（D） 　四、圆与圆的位置关系不唯一性 　　例5．

6、如果两圆相切，两圆的圆心距为8cm，圆A的半径为3cm，则圆B的半径是（  ）。 （A）5cm（B）11cm（C）3cm（D）11cm或5cm      （B）     分析：圆与圆相切，可能是内切，也可能是外切。 　　　　　　           ⑴两圆外切。如图5.1。AB=8+3=11cm ⑵两圆内切。如图5.2。AB=8－3=5cm   故选（D） 　　五、相交圆圆心与公共弦的位置关系不唯一性 　　例6．已知相交两圆的半径分别为5cm和4cm，公共弦长6cm，则这两个圆的圆心距为          。 分析：两圆圆心可能在公共弦的同侧，也可

7、能在公共弦的异侧。  ⑴圆心在公共弦的异侧。如图6.1。 连接OA，OA。由圆的对称性，OO垂直平分公共弦AB。∴AD=AB=3 在Rt△AOD中，OD==4 在Rt△AOD中，OD== ∴OO=OD+OD=4+ ⑵圆心在公共弦的同侧。如图6.2。 此时，OO=OD－OD=4－ 故这两个圆的圆心距为4+或4－。