锥嵌柱中,模糊变清晰

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1、锥嵌柱中,模糊变清晰摘要:在立体几何中,椎体问题是学生们比较难懂的部分。但若把椎体放置在相应的柱体中,其点、线、面的位置关系就变得十分清晰,有助于问题的解决。　　关键词:立体几何椎体　　【】G633.6【】C【】1671-8437(2010)03-00126-02　　　　立体几何中,解决锥体中某些问题时,常常比较困难、繁琐,点、线、面的位置关系模糊不易观察。相反,若把锥体恰当地放置在相应的柱中,点、线、面的位置关系变得清晰透明,有助于问题的解决。现举几例加以说明。　　例1、已知四面体A-BCD中,AB=CD=5,AC=BD=,AD=BC

2、=,则四面体A-BCD外接球的半径为_________。　　分析:求此四面体外接球的半径,若仅仅思考四面体A-BCD,问题解决十分困难,仔细审题发现此四面体对棱长相等,可以认为是长方体面上的对角线构成的图形。如图1:　　图1图2　　解:将四面体A-BCD放入长方体中,如图2;　　设长方体长、宽、高分别为a、b、c,则　　解得,所以四面体A-BCD外接球的半径为=。　　例2、若三棱锥P-ABC,PA⊥平面ABC,PA=AB=BC=,∠ABC=900,则P-ABC外接球的体积为__________。　　图3图4　　解:因为PA⊥平面ABC,

3、∠ABC=900,所以可以将三棱锥P-ABC补成正方体,如图4,PC为三棱锥P-ABC外接球的直径,PC=3,所以三棱锥P-ABC外接球的体积为π。　　点评:解决锥体外接球的半径、表面积、体积等问题时,我们如果能将锥体放入正方体或长方体中,问题就非常容易解决了。如例1中的锥体,学生往往不容易想到它们是长方体面上的对角线,所以解决此类问题较难,一旦放到长方体中解决问题就非常方便。例2中的锥体是正方体的一部分,将图形补充完整,结果就显现出来了。　　例3、已知PD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,PD=AD=1,点C到平面PAB的距离为

4、d1,点B到平面PAC的距离为d2,则()　　A、1

5、PC=PC,△PAC≌△PBC,所以PC⊥BC,PC⊥平面ABC,所以三棱锥P-ABC可以放到正方体中,如图8　　(1)二面角B-AP-C的余弦值cosα=　　(2)点C到平面APB的距离为　　点评:对于锥体点、线、面的距离的计算,我们如果能放入正方体中,利用正方体的性质解决就非常方便了。　　由此可见,对于有些锥体分析他们棱与棱之间的关系后,将它们嵌入到柱中,结果就显而易见了。