12张再望角平分线的性质

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1、我学习我快乐角平分线的性质思考题1给你一个线段，你如何找出它的中点给你一个角，你如何画出它的角平分线如图，是一个平分角的仪器，其中AB=AD，CB=CD,将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE,AE就是角的平分线。你能说明它的道理吗？ABCDE12根据SSS,可知两个三角形全等∴∠1=∠2从上面的探究你能得出作一个角的角平分线的方法吗？已知：∠AOB求作：∠AOB的平分线作法：（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M,交OB于N;（2）分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交

2、于点C.(3)作射线OC.射线OC即为所求。你能说明其中的道理吗？AMOBNC做P108页的练习，并回答问题。AOBCDEP已知：OC是∠AOB的平分线，P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，求证：PD=PE分析：仔细观察图形，思考证明两条线断相等的方法有哪些？△PDO≌△PEO吗？角的平分线上的点到角的两边的距离相等由此我们得到角平分线的性质定理：你能用三角形全等证明这个性质吗？已知：如图，OP是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E求证：PD=PE定理：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相

3、等。证明:∵∠1=∠2,OP=OP∠PDO=∠PEO=90°∴⊿PDO≌⊿PEO(AAS)∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)AOBDPEC12该定理的题设和结论分别是什么？角平分线的性质定理定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。定理应用所具备的条件：（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离。定理的作用：证明线段相等。应用定理的书写格式：OP是的平分线PD=PE（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。）∵推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。AOBDPE如果交换定理1的题设、结论，能得到怎样

4、的命题，这是一个真命题吗？逆命题：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E，PD=PE。求证：点P在∠AOB的平分线上。证明:在Rt⊿ODP和Rt⊿OEP中,∠ODP=∠OEP=90°OP=OP,PD=PERt⊿OPD≌Rt⊿OPE(HL)到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。定理2定理2的应用书写格式：OP是的平分线PD=PE（到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上）∵用途：判定一条射线是角平分线OABED思考：如图所示OC是∠AOB的平分线,P是OC

5、上任意一点,问PE=PD?为什么?CPPD,PE没有垂直OA,OB,它们不是角平分线上任一点到这个角两边的距离,所以不一定相等例：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P。求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等。BACPMN例题展示：证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足为D、E、F，BACPDEFMN∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，PD⊥AB，PE⊥BC∴PD=PE同理PE=PF∴PD=PE=PF即点P到三边AB，BC，CA的距离相等例1已知：如图、E是∠BAC平分线上的一点，EB⊥AB，EC

6、⊥AC，B，C分别是垂足。求证：∠EBC＝∠ECB证明：∵E是∠BAC平分线上的一点，EB⊥AB，EC⊥AC∴EB=EC（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）∴∠EBC＝∠ECB（在一个三角形中，等边对等角）ACEB想一想：题中BC被AE垂直平分吗？1234∵∠ABE＝∠ACE＝Rt∠∠1＝∠2∴∠3＝∠4又∵EB=EC∴AE垂直平分BC如图，开发区一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，并且与河上公路桥较近桥头的距离为500米。你能尝试确定工厂的位置吗？并说明理由。北比例尺1：20000河流公路∵到公路的距离与到

7、河岸的距离相等∴工厂在河岸与公路的角平分线上（到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上）以角的顶点为端点在角平分线上取一段等于2.5㎝则另一点就是工厂的位置。例.已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.证明：过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上（已知）∴PD=PE（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即点P到边AB、BC、CA的距离相等DEFABCPMN结论：三角形

8、的角平分线的交点到三边的距离相等。这个交点叫三角形的内心已知：如图，△ABC的∠B的外角平分线BD和∠C的外角平分线CE相交于点F。求证：点F在∠DAE的平分线上。AB做一做FEDC那么点F到△ABC三边的