第五章_弯曲应力

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1、第五章弯曲应力(BendingStresses)§5-1梁弯曲时的正应力§5-2惯性矩的计算§5-3梁弯曲时的强度计算§5-4提高梁抗弯能力的措施*§5-6梁弯曲时的切应力§5-1梁弯曲时的正应力横截面上切应力yz横截面上正应力在AC、DB两段梁内，横截面上同时存在弯矩M和切力Q，这种弯曲称为横力弯曲或剪切弯曲；在CD段梁内各横截面上，切力Q为零弯矩M为常量，这种弯曲称为纯弯曲；1、变形几何条件取长为dx的微段梁来分析；取横截面的对称轴为y轴，并取z轴与截面的中性轴重合。研究距中性层y处纵向纤维ab的变形。故其纵向线应变为：(

2、a)2、应力、应变关系设各纵向纤维之间互不挤压，每根纤维都只受到单向拉力或压力，则在应力不超过材料的比例极限时，各纤维上的正应力与线应变的关系应服从胡克定律：可得：(b)3、静力学关系截面上各处的法向内力元素构成了一个空间平行力系，它可能组成三个内力：平行于x轴的轴力N，对y轴和z轴的力偶矩My和Mz(c)(d)(e)(1)以式(b)代入(c)：为截面图形对Z轴的静矩。上式要满足，则必有截面形心的坐标yC=0。由此，中性轴必然通过横截面的形心。(b)(c)(2)以式(b)代入(d)：(b)(d)(3)以式(b)代入(e)：令：(b

3、)(e)可得梁弯曲时中性层的曲率为：表明：在指定的横截面处，中性层的曲率与该截面上的弯矩M成正比，与EIz成反比。在同样的弯矩作用下，EIz愈大，则曲率愈小，即梁愈不易变形，故EIz称为梁的抗弯刚度。梁纯弯曲时横截面上任一点处正应力的计算公式：(5-3)(5-3)讨论：对于具有纵向对称面的其他截面形式的同样可以使用；对于非纯弯曲，对于跨长与截面高之比大于5的梁，式(5-3)的计算结果误差很小。在工程实际中，式(5-3)可以足够精确地推广应用于剪切弯曲的情况；不适用于非平面弯曲；如梁的材料不服从胡克定律或正应力超过了材料的比例极限，

4、式(5-3)不再适用；只适用于直梁，而不适用于曲梁，但可近似地用于曲率半径较梁高大得多的曲梁，对变截面梁也可近似的应用。(5-3)例5-1已知梁的跨长l=1m，均布载荷集度q=6kN/m；梁由10号槽钢制成，截面有关尺寸如图示，自型钢表查得，横截面的惯性矩Iz=25.6x104mm4,试求此梁的最大拉应力和最大压应力。qABl解：（1）作弯矩图，求最大弯矩（2）求最大应力上缘受最大拉应力下缘受最大压应力§5-2惯性矩的计算1、简单截面的惯性矩（1）矩形截面对z轴的惯性矩：对y轴的惯性矩：(2)圆形与圆环形截面圆形截面对圆心的极惯性

5、矩为：由于y和z轴皆为通过圆截面直径的轴，故：可得圆形截面对y或z轴的惯性矩为：对于外径为D内径为d的圆环形截面2、组合截面的惯性矩平行移轴公式组合截面对某一轴的惯性矩等于其各个组成部分对同一轴的惯性矩之和。平行移轴公式已知：A，Iz求：Iz1同理：例5-2已知一T字形截面，求其对中性轴Z的惯性矩解：（1）确定形心和中性轴的位置将截面划分为I,II两个矩形，取与截面底边相重合的z’轴为参考轴。整个截面的形心C至z’轴的距离为：(2)求各组成部分对中性轴z的惯性矩设两矩形的形心轴为z1和z2，它们对中性轴z的距离分别为：两矩形对中性

6、轴z的惯性矩分别为：（3）求整个截面对中性轴的惯性矩为：作业：5-2、5-9(a),(e)§5-3梁弯曲时的强度计算梁纯弯曲时横截面上任一点处正应力的计算公式：(5-3)最大正应力位于最大弯矩所在截面上距中性轴最远的地方：(5-8)Wz称为抗弯截面系数，是衡量横截面抗弯强度的一个几何量，其值与横截面的形状及尺寸有关，单位为m3或mm3对于矩形截面：对于圆形截面：对于空心圆形截面：最大正应力的计算式可表为：梁弯曲的正应力强度条件：例5-3一矩形截面木梁，已知P=10kN,a=1.2m;木材的许用应力[σ]=10Mpa，设梁横截面的高

7、宽比为h/b=2，试选择梁的截面尺寸；解：（1）作弯矩图，求最大弯矩（2）选择截面尺寸，由强度条件截面的抗弯截面系数：例5-5一起重量原为50kN的单梁吊车，其跨度l=10.5m,由45a号工字钢制成。为发挥其潜力，现拟将起重量提高到Q=70kN，试校核梁的强度。若强度不够，再计算其可能承载的起重量。梁的材料为Q235A钢，许用应力[σ]=140MPa；电葫芦自重为G=15kN，梁自重不计。解：（1）作弯矩图，求最大弯矩（2）校核强度由表查得45a号工字钢的抗弯截系数故梁的最大工作应力为：（3）计算承载能力梁允许的最大弯矩为故按梁

8、的强度，原吊车只允许吊运61.3kN的重量例5-6在上例中，为使吊车的起重量提高到70kN，可在工字梁上、下翼缘上加焊两块盖板。现设盖板的截面尺寸为：100X10(mm2)，试校核加焊盖板后梁的强度。解：（1）计算截面的惯性矩加焊两块盖板后，中性轴