函数最值得求解的方法

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1、函数最值得求解的方法..毕业函数最值的讨论是高中的难点,类型多且比较灵活,因而在当中较容易失分,所以把握好类型与解决方法是处理好这类问题的关键。一求函数最值的常用方法有:1.配方法:将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变量的取值范围确定函数的最值.形如的函数值域均可用此法,要特别注意自变量的范围.2分离常数法:将函数解析式化成含有一个常数和含有的表达式,利用自变量取值范围确定表达式取值范围。形如的函数的值域,均可以使用此法,此外这种函数的值域也可以利用反函数法,利用反函数的定义域进行值域的求解。3.判别式法:把函数转化成关于的二次方程,通过方程有实根,判别式,从而求

2、得原函数的值域。形如的函数的值域常用此法解决。注意事项:①函数定义域为R;②分子、分母没有公因式。4.不等式法:利用基本不等式取等号确定函数的最值,..毕业常用不等式有:①当且仅当a=b时,“=”号成立;②当且仅当a=b时,“=”号成立;③当且仅当a=b=c时,“=”号成立;④,当且仅当a=b=c时,“=”号成立.注意事项:①基本不等式求最值时一定要注意应用的条件是“一正二定三等”.②熟悉一个重要的不等式链:5.换元法:运用代数或者三角代换,将所给函数化成值域容易确定的另一函数,从而求得原函数的值域。形如的函数等常用此法解决.注意事项:换元法使用时一定要注意新变元的取值范围.6.数形

3、结合法:当一个函数图象较容易作出时,通过图像可以求出其值域和最值;或利用函数所表示的几何意义,借助几何方法求出函数的值域。例如距离、斜率等.7.函数的单调性法:确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性以求出函数的值域.例如形如的函数,的函数等.注意事项:1函数单调性问题必须先在讨论定义域条件下进行。2函数的单调性的判断方法有定义法,导数判断法等方法。二函数最值求解例析例1求下列函数的值域:解:(1)方法一(分离常数法)由知,所以函数值域为方法二(反函数法)由,得,所以即所以函数值域为(2)方法一(换元法)设,得,方法二(函数单调性法)注:函数的单调性也可以用导数法进行判断()

4、.(3)方法一(判别式法)。,所以函数值域为。方法二(不等式法)。(4)方法一(基本不等式法)由得即或,所以函数的值域为方法二(判别式法)由得。方程有实根,解得或,所以函数的值域为方法三(函数单调性法)由得所以当和时,所以函数在和上是减少的,当 和时,所以函数在和上是增加的,所以所以函数的值域为注:函数图象及性质(1)函数图象:(2)函数性质:①值域:;②单调递增区间:,;单调递减区间:,.例2对,记,函数的最小值是()ACD解法一(图像法):函数的图像如图所示,由图像可得,其最小值为。来源:Z,xx,k.解法二(零点分区间讨论法):当x﹣1时,

5、x+1

6、=﹣x﹣1,

7、x﹣

8、2

9、=2﹣x,2﹣x﹣x﹣1;当﹣1≤x时,

10、x+1

11、=x+1,

12、x﹣2

13、=2﹣x,x+1当x2时,

14、x+1

15、=x+1,

16、x﹣2

17、=2﹣x,x+1当x≥2时,

18、x+1

19、=x+1,

20、x﹣2

21、=x﹣2,x+1故,故函数最小值为.例3设函数,求在区间上的最大值和最小值。解:(函数单调性法)由于,所以,由 得:;由得:,所以函数在区间上是减少的;在区间上是增加的。又由于所以:,三训练1下列函数中,值域是(0,+∞)的是()A、B、C、y=x2+x+1D、2函数的值域是()A、(﹣∞,﹣1)B、(﹣∞,0)∪(0,+∞)C、(﹣1,+∞)D、(﹣∞,﹣1)∪(0,+∞)3函数的值域是

22、4函数的值域为5函数的最大值是,最小值是