浅谈求解函数最值的几种方法 定稿

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1、厚德树人　笃学致用******************************************************************遵义师范学院毕业论文（设计）题目：浅谈求解函数最值的几种方法系别数学与计算科学学院专业数学与应用数学年级2010级姓名钱红利学号10410501041指导教师潘永会2014年4月10日浅谈求解函数最值的几种方法钱红利摘要：函数的最值问题贯穿整个中学知识，最值问题在实际生活中的应用比较广泛而且极其重要，如线性规划的最优解问题，利润的最大化问题等等。本文讨论了中学数学中

2、求解函数最值的几种方法。如配方法、换元法、均值不等式法、函数的单调性法、导数法、数形结合法、反函数法。关键词：函数；最值数学是一切自然学科的基础。学好数学就意味着要学会解题，当我们遇到问题时，常常想着以常用的、熟悉的方法解决，这仅仅只能得出问题的答案，对学生思维能力的培养没有能够发挥更大的作用，只有对数学思想、数学方法理解透彻并且会灵活运用，才能在解题中既得出新的解法，又训练了学生的思维。正因为如此，我们才提倡遇到一道数学题使用多种解法，并且在解题过程中尽量多的体现数学思想。在数学学习中，知识是基础，方法是手段，

3、思想是深化，提高数学素质的核心是提高学生对数学思想方法的认识。所以，对学生数学学习情况的考察最重要的就是对数学思想方法掌握情况的考察。本文通过对高中数学例题的探究，总结出求解函数最值的几种方法，充分体现了数学方法在求最值时的灵活应用以及例题中所蕴含的数学思想。一、配方法配方法使用的最基本的理论依据是完全平方公式。配方其实就是一种恒等变换，主要适用于已知或者未知中含有二次函数、二次方程、二次不等式、二次代数式以及求解形如的二元函数的最值问题等（将视为变量，视为常数）。结合所学知识，我们可以将完全平方式子延伸为形如…

4、…例1已知，，求函数的最值.解由，所以当，时，函数取得最小值为.配方法就是对数学表达式进行一种变形，通过配方找到未知与已知的联系，找到突破口，达到化难为易的效果。什么样的式子，什么时候配方这是使用配方法的重点，同时也是学习的难点。掌握配方法关键是要掌握“配”和“凑”的技巧。配方法也称为“配凑法”。配方法求函数的最值时主要结合了偶次方的非负性，从而得到函数的最值。二、换元法所谓换元法就是求解数学问题时，用一个变量去代替一个式子，使得研究对象变为常见或者是容易着手解决的形式，从而将复杂问题简单化。实质是等量代换，关键

5、是构造变量，目的是为了变换研究对象。特别是对数量关系较为复杂或计算量比较大的题目，合理运用换元法可以将数量关系简单化，也可以减轻计算量。换元法通过引进新的变量，将毫无关联的变量与已知条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来，或者变为常见的形式，它可以将高次与低次互化、将分式化为整式，从而求出问题的答案。例2求函数=的最值.解由题知，设=t，则变形得①将①带入得当=,即=时，函数的最大值为.中学生对含有根式、分式、高次的问题很难找到突破口，通过换元法可以将其变为常见的代数式，使得问题变得简单。在解

6、题时，特别需要注意的是对于新引入的变量需要注意其取值范围。三、均值不等式法运用不等式法求最值时，其理论依据是运用基本不等式，，以及其变形公式。运用不等式法时，必须满足“一正、二定、三相等”，通过将“和式”转化为“积式”或者将“积式”转化为“和式”求得最值（和定积最大，积定和最小）。要注意的是，有些题目直接看不出可以使用不等式法，可以通过变形、添项、裂项等手段使之运用基本不等式。例3求（）的最值.解==∵∴故4+5=9当且仅当时，即=1时取得“=”.运用均值不等式首先要考虑是否满足使用条件。特别注意，有些题目需要多

7、次运用不等式法才能得出结果，切记等号成立的条件必须要一致，否则可能导致错误的结论。四、函数的单调性法函数的单调性是函数的一个重要性质,在求函数极值、单调区间、值域或者最值时都会用到函数的单调性。函数的单调性法是中学数学里常用的一种方法，适用范围较广且难度不大。对于形如求解函数的最值问题时，如果运用不等式法不能取得等号时，可考虑用函数的单调性法求解，体现出函数的单调性法适用的普遍性。例4求函数的最值.分析此时若用均值不等式求的最值，取得等号的条件是，即，而在实数范围内无解，故函数不能取得最小值。故可考虑使用单调性法

8、求解。解令则原函数变形为运用定义法求函数的单调区间，得出函数在是增函数，所以当时，函数取得最小值，所以即当，也就是时，取得最小值.用函数的单调性法求解最值时，关键是确定为单调函数，并确定函数所在区间，这是中学生用此法解决问题的难点。它的优点在于使用范围较广且难易程度不大，学生容易接受。五、导数法导数法求最值是中学数学学习的重点，对初学者也是难点。导数法求函数最值，首先将函