高数大一上册总复习

《高数大一上册总复习》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、总复习函数与极限（一）函数的定义（二）极限的概念（三）连续的概念主要内容函数的定义反函数隐函数反函数与直接函数之间关系基本初等函数复合函数初等函数函数的性质单值与多值奇偶性单调性有界性周期性1、求定义域的常用方法：1.分式的分母不能为零。(分母0)2.在偶次根式中，被开方式03.对数函数的真数>04.若干项组成的函数式，它的定义域是各项定义域的交集部分。自变量的取值要使左右极限两个重要极限求极限的常用方法无穷小的性质极限存在的充要条件数列极限函数极限等价无穷小及其性质无穷小两者的关系无穷大当0®x时,等价无穷小x~xs

2、inx~xtanx~ex1-x~x)1ln(+2~2xcos1x-利用等价无穷小可以简化某些极限的运算使用洛必达法则求未定型的极限时，应注意以下几点：(2)如果有可约去的公因子,或有非零极限的乘积因子，可以先约去或提取出来求极限，以简化演算.此时应使用其它方法求极限.消去零因子法(通过约分、通过有理化)无穷小因子分出法利用无穷小的性质复合函数极限运算法则无穷小和无穷大之间的关系解例(消去零因子法)通过约分例求解：(消去零因子法)通过有理化小结:无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.

3、例解(无穷小因子分出法)小结常见极限类型求解方法：分子、分母同时除以最高次方消去分子或分母趋于零的因式通分进行求解连续与可导1、连续与可导)()(lim00xfxfxx=®如果则称函数)(xfy=在0x点连续.【注】)()(lim00xfxfxx=-®,)()(lim00xfxfxx=+®连续或0

4、xxy=¢导数2.右导数:单侧导数1.左导数:★2、间断点分类：（一）第一类间断点(左、右极限均存在)但不相等;2.跳跃间断点1.可去间断点00+-®®均存在与,)(lim)(limxfxfxxxx®存在,)(lim0xfxx（

5、二）第二类间断点(左、右极限至少有一个不存在)振荡间断点无穷型间断点、导数与微分求导法则基本公式导数微分关系高阶导数切线方程为法线方程为1、求导法则(1)函数的和、差、积、商的求导法则(2)反函数的求导法则(3)复合函数的求导法则(4)对数求导法先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.适用范围:(5)隐函数求导法则复合函数求导法则直接对方程两边求导和对数求导法则(6)参变量函数的求导法则2、导数与微分的关系3、微分的求法求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.函数和、差、积、商的微分法则4、微分的基本法则基本

6、初等函数的微分公式微分中值定理1、罗尔定理如果函数满足条件：（1）在闭区间上连续,（2）在开区间内可导,AB罗尔定理的几何解释：如图所示:2、拉格朗日中值定理如果函数满足条件：（1）在闭区间上连续,（2）在开区间内可导,那末至少有一点使得拉格朗日中值定理几何解释:例拉格朗日中值定理.解函数的单调性、最值和极值、凸凹性1、函数的单调性定理(1)函数单调性的判定法(2)单调区间求法导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点．方法:指出：利用函数单调性的判定可以证明某些不等式.例证2、函数极值的求法定理1(必要条件)注意：

7、逆定理不成立.例如说明：对于连续函数,导数不存在的点也可能是函数例如，函数在定义域中的驻点及不可导点统称为极值可疑点.指出：连续函数仅在极值可疑点上可能取得极值.的极值点.定理2(第一充分条件)(是极值点情形)(不是极值点情形)求极值的步骤:定理3(第二充分条件)求极值的步骤:步骤:1.求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值;注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)3最大值、最小值问题实际问题求最值应注意:1)建立目标函数;

8、2)求最值;定理14、函数的凸凹性方法1:方法2:不定积分积分法原函数选择u有效方法基本积分表第一换元法第二换元法直接积分法分部积分法不定积分几种特殊类型函数的积分1、原函数定义原函数存在定理连续函数一定有原函数．2、不定积分(1)定义(2)微分运算与求不定积分的运算是互逆的.(3)不定积分的性质(4)、基本积分表是常数)4、第一类换元法3、直接积分法由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不定积分的方法.常见凑微分公式：(2)(3)(5)(6)(1)(4)例.求解:类似5、第二类换元法可采用令当被积函数含有两种或两种以上根

9、式时，为各根指数的最小公倍数）（其中不定积分的分部积分公式：1.适用被积函数为：两类函数相乘；6、分部积分法2.“(反对)幂(指三)”，前为u定积分说明：即2.规定3.可积的充分条件：它只取决于积分区间和被积函数，而与积分变量用什么字母表示无关.如果f(x)在[a,b]上连续，则积分上限函数在[a,b]