1-5复变函数与积分变换

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1、第五节初等函数一、指数函数二、对数函数三、乘幂ab与幂函数四、三角函数和双曲函数五、反三角函数和反双曲函数六、小结与思考1一、指数函数1.指数函数的定义:2指数函数的定义等价于关系式:32.加法定理证4例1解56例2解求出下列复数的辐角主值:78二、对数函数1.定义9其余各值为特殊地,10例3解注意:在实变函数中,负数无对数,而复变数对数函数是实变数对数函数的拓广.11例5解12例6解1314三、乘幂与幂函数1.乘幂的定义注意:1516特殊情况:1718例7解答案课堂练习19例8解20四、三角函数和双曲函数1.三角函数的定义将两式相加与相减,得现在把余弦函数和正

2、弦函数的定义推广到自变数取复值的情况.2122例9解23有关正弦函数和余弦函数的几组重要公式正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数.24(注意：这是与实变函数完全不同的)25其他复变数三角函数的定义262.双曲函数的定义27它们的导数分别为并有如下公式:它们都是以为周期的周期函数,28五、反三角函数和反双曲函数1.反三角函数的定义两端取对数得29同样可以定义反正弦函数和反正切函数,重复以上步骤,可以得到它们的表达式:2.反双曲函数的定义30例14解31六、小结与思考复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围内的自然推广,它既保持了后者的某些基本性质,又有一些与后

3、者不同的特性.如:1.指数函数具有周期性2.负数无对数的结论不再成立3.三角正弦与余弦不再具有有界性4.双曲正弦与余弦都是周期函数32思考题实变三角函数与复变三角函数在性质上有哪些异同?33思考题答案两者在函数的奇偶性、周期性、可导性上是类似的,而且导数的形式、加法定理、正余弦函数的平方和等公式也有相同的形式.最大的区别是,实变三角函数中,正余弦函数都是有界函数,但在复变三角函数中,放映结束，按Esc退出.34