2011中考数学一轮复习【几何篇】18.相似形的综合

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1、18.相似形的综合运用（二）知识考点：本节知识包括综合运用三角形相似的性质与判定定理，这是中考的必考内容，另外，以相似三角形为背景的综合题是常见的热点题型。精典例题：【例1】如图已知，△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，PQ∥AB，P点在AC上（与点A、C不重合），Q点在BC上。（1）当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长。（2）当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长。（3）试问：在AB上是否存在点M，使得△PQM为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出PQ的长。解：（1）∵

2、，∴又∵PQ∥AB，∴△PQC∽△ABC∴，∴故（2）∵△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等∴PC＋CQ＝PA＋AB＋QB＝（△ABC的周长）＝6又∵PQ∥AB，∴，即，解得（3）①依题意得（如图2）当∠MPQ＝900，PM＝PQ时，由勾股定理的逆定理得∠C＝900，∴△ABC的AB边上的高为，设PM＝PQ＝∵PQ∥AB，△CPQ∽△CAB，∴，解得，即当，时，同理可得②依题意得（如图3）当∠PMQ＝900，MP＝MQ时，由等腰直角三角形的性质得：M到PQ的距离为PQ，设PQ＝，由PQ∥AB可得△CPQ∽△CAB，所以有：，解得，

3、即【例2】如图，△ABC≌△，∠C＝∠＝900，AC＝3cm，＝5cm，先将△ABC和△完全重合，再将△ABC固定，△沿CB所在的直线向左以每秒1cm的速度平行移动，设移动秒后，△ABC与△的重叠部分的面积为cm2，则与之间的函数关系式为，秒后重叠部分的面积为cm2。答案：（0≤≤4）变式：操场上有一高高耸立的旗杆，如何测出它的高度，请你说出几种方法来。探索与创新：【问题】在△ABC中，D为BC边上的中点，E为AC边上任意一点，BE交AD于点O。某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：当时，有（如图1）当时，有（如图2）当时，有（如

4、图3）在图4中，当时，参照上述研究结论，请你猜想用表示的一般结论，并给出证明（其中是正整数）。分析：特例能反映个性特征信息,个性之中包含着共性,共性蕴含在个性之中。特例所反映的个性特征,往往通过类比就可以反映其共性规律。对照（1）、（2）、（3）很容易猜想得到这样一个结论：独想：当时，有成立。证明：过点D作DF∥BE，交AC于点F∵D是BC的中点∴F是EC的中点由可知∴∴∴跟踪训练：一、填空题：1、梯形ABCD中，AB∥CD，AB＞CD，AC、BD交于点O，过点O的直线分别交AB、CD于E、F，若，FC＝4cm，则CD＝cm。2、如图

5、，O是平行四边形ABCD对角线的交点，OE∥AD交CD于E，OF∥AB于F，那么∶＝。3、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，中位线EF交BD于H，AF交BD于G，CD＝4AB，则∶＝。二、选择题：矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，DE垂直对角线AC于E，那么∶＝（）A、4∶3B、16∶9C、∶3D、3∶4三、解答题：1、如图，在正方形ABCD中，M是AB上一点，BM＝BN，作BP⊥MC于P，求证：DP⊥NP。2、如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，且，阅读下段材料，然后再回答后面的问题：连结

6、BD，∵，∴EH∥BD∵，∴FG∥BD，∴FG∥EH①连结AC，则EF与GH是否一定平行？答：。②当值为时，四边形EFGH是平行四边形；③在②的情况下，对角线AC与BD只须满足条件时，EFGH是矩形；④在②的情况下，对角线AC与BD只须满足条件时，EFGH是菱形。3、已知△ABC中，AB＝，AC＝2，BC边上的高AD＝。（1）求BC的长；（2）如果有一个正方形的一边在AB上，另外两个顶点分别在AC、BC上，求正方形的面积。提示：D点可能在BC上或在BC的延长线上，问题要分类讨论。3、已知抛物线与轴交于A（，0），B（，0）两点，与轴交

7、于点C（0，），O为坐标原点。（1）求的取值范围；（2）若，OA＋OB＝3OC，求抛物线的解析式及A、B、C三点的坐标；（3）在（2）的情形下，点P、Q分别从A、O两点同时出发（如图）以相同的速度沿AB、OC向B、C运动，连结PQ与BC交于M，设AP＝，问是否存在值，使以P、B、M为顶点的三角形与△ABC相似。若存在，求的值；若不存在，请说明理由。跟踪训练参考答案一、填空题：1、12；2、1∶8；3、15∶2；二、选择题：B三、解答题：1、证△BPM∽△CPB，△PBN∽△PCD；2、①不一定；②1；③AC⊥BD；④AC＝BD；3、①

8、点D在BC上时，BC＝4，；②点D在BC的延长线上时，BC＝2，；4、（1）；（2）A（－8，0），B（－4，0），C（0，4），（3）存在或2