激光原理与技术山西大学第三章

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1、第三章高斯光束的基本性质与传输变换§3.1高斯光束的基本性质§3.2高斯光束的复参数表示，ABCD矩阵§3.3高斯光束在非均匀介质中的传输§3.4高斯光束通过光学系统的变换§3.5高斯光束的聚焦§3.6高斯光束的匹配§3.7像散椭圆高斯光束§3.8高斯光束参数的实验测量一、高斯光束是亥姆霍兹方程在缓变振幅近似下的一个特解二、高斯光束的基本性质§3.1高斯光束的基本性质一、高斯光束是亥姆霍兹方程在缓变振幅近似下的一个特解电磁场运动的普遍规律可用Maxwell方程组描写。稳态传输的光频电磁场，只研究电矢量的波动方程，电矢量在光现

2、象中起主要作用。在标量近似下，波动方程可写为亥姆霍兹方程。高斯光束是亥姆霍兹方程在缓变近似下的一个特解。亥姆霍兹方程：容易证明，平面波和球面波都是式（3.1.1）的特解。高斯光束则不是该式的精确解，而是在缓变振幅近似（SVA）下的一个特解。设：（3.1.1）（3.1.2）SVA：解方程（3.1.1），可得解为：振幅部分相位部分为腰斑，z=0处振幅减小到最大值的r值，为高斯光束光斑半径的最小值；为瑞利长度或共焦参数；高斯光束的光斑半径；等相位面曲率半径；相位因子。（3.1.4）（3.1.3）（3.1.5）（3.1.6）（3.1

3、.7）（3.1.8）二、基本性质1、高斯光束在x,y平面内，场振幅以高斯函数形成从中心向外平滑减小。光斑半径随坐标z按双曲线向外扩张，。2、等相位面相位相同点的轨迹。令相位部分等于常数，近轴近似下，略去，有：等相位面为球面（3.1.9）等相位面为平面；等相位面亦可近似为平面；取极小值；在远场处可将高斯光束近似视为一个由点出发，半径为z的球面波。3、高斯光束的相移由（3.1.4）式可知，总相移为：它表征高斯光束在点（r，z）出相对于原点（0，0）的相位差。几何相移径向相移附加相移（3.1.10）4、瑞利长度瑞利长度的物理意义为

4、：当时，。在实用中常取范围为高斯光束的准直范围，在这段长度内，高斯光束可以近似认为是平行的。所以，瑞利长度越长，就意味着高斯光束的准直范围越大，反之亦然。5、远场发散角高斯光束的远场发散角可用下式定义：可知高斯光束远场发散角在数量级上等于以束宽为半径的光束的衍射角，即它已达到衍射极限。（3.1.11）综上所述，可知高斯光束在其轴线附近可以看作是一种非均匀高斯光束球面波，在传输过程中曲率中心不断改变，其振幅在横截面内为一高斯函数，强度集中在轴线及其附近，且等相位面保持为球面（特殊范围内为平面）。§3.2高斯光束的复参数表示，A

5、BCD矩阵一、高斯光束的复参数表示二、高斯光束的ABCD定律一、高斯光束的复参数表示高斯光束由、和中的任意两个即可确定。可用复参数将这三个量联系起来，定义为：利用式（3.1.6）和（3.1.7）易得：（3.2.1）（3.2.2）当已知时，、可由下式求出：（3.2.3）在讨论高斯光束的传输变换问题时，实用q参数法最为简便。注意：对，式（3.2.1）中为真空（或空气）中波长；当时，应理解为折射率n介质波长。二、高斯光束的ABCD定律首先说明两点：1、初始场分布为高斯函数的激光束经过变换矩阵为的光学系统变换之后，仍旧保持为高斯函数

6、的形式。2、其复参数变换服从ABCD定律：或写为：（3.2.4）（3.2.5）试证明这两点说明：如果复参数为的高斯光束依次通过变换矩阵为：的光学系统后变为复参数为的高斯光束，利用矩阵乘法易证明，此时ABCD定律亦成立，但其中ABCD为下面矩阵M诸元：即当和为已知时，原则上由ABCD定律可以求出任意z处的，进而再计算出和。此为研究高斯光束传输的一个基本方法。（3.2.6）（3.2.7）例：自由空间传播设在z=0处有一等相位面为平面的高斯光束：由ABCD定律：在自由空间中传输距离z后，设其复参数为。因为（3.2.8）（3.2.9

7、）（3.2.10）将式（3.2.1）、（3.2.8）带入式（3.2.10）中可得到：（3.2.11）（3.2.12）§3.3高斯光束在非均匀介质中的传输本节讨论高斯光束在折射率和吸收（或增益）系数与空间坐标有关的非均匀介质中的传输。如图3.3.1所示，设、随、变化规律为：图3.3.1非均匀介质（3.3.1）（3.3.2）这种抛物线函数形式（式3.3.1、3.3.2）实际上包括了类透镜介质、饱和吸收体、可变光阑等常见的情况。复折射率可写为：（3.3.3）将上式代入亥姆霍兹方程，得到：式中称为传输常数设该解的形式为：（3.3.4

8、）（3.3.5）（3.3.6）（3.3.7）代入（3.3.4），在缓变振幅近似下得到：上式解为：（3.3.8）（3.3.9）将式（3.3.9）代入（3.3.8），利用方程式对任意成立条件，得到和的微分方程组：若传输常数与无关，在边界条件下，求得式（3.3.10）、式（3.3.11）的解为：