周期为2π的周期函数转换为傅里叶级数

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1、自然界的许多现象都具有周期性，如心脏的跳动、肺的运动、给我们居室提供动力的电流、电子信号技术中常见的方波、锯齿形波和三角波以及由空气的周期性振动产生的声波等等。内容简介5.1周期为的周期函数展开成傅里叶级数一、案例二、概念和公式的引出三、进一步的练习一、案例[矩形波的叠加]周期函数可表示为f(T+t)=f(t)，T为函数F(t)的周期。如物理上“正弦振动”或“简谐振动”的运动方程为其中A为振幅，为角频率，为初相。电子技术中常用的周期T的矩形波可看成若干个正弦波叠加而成，如下图所示：二、概念和公式的引出三角级数由正弦或余弦函数组

2、成的无限多项的和，称为三角级数。它的一般形式为其中为常数。傅里叶级数存在，则称它们为函数f(x)的傅里叶系数，由傅里叶系数组成的三角级数设f(x)是周期为的周期函数，如果称为傅里叶级数。收敛定理的周期函数f(x)满足条件（狄利克雷充分条件）若周期为（1）在区间连续或只有有限个第一类间断点；（2）在区间只有有限极值点，则函数f(x)的傅里叶级数收敛，且（1）当是连续点时，级数收敛于f(x)；（2）当是间断点时，级数收敛于三、进一步的练习练习1[脉冲矩行波]如右图所示，求此函数的脉冲矩形波的信号函数f(x)是以为周期的周期函数，它

3、在的表达式为傅里叶级数展开式。解用傅里叶系数公式计算傅里叶系数如下:因为函数f(x)是奇函数，所以f(x)cosnx是奇函数，因此f(x)cosnx上积分为零．于是于是，函数f(x)的傅立叶级数展开式为由收敛定理知函数f(x)在范围内与级数相等,即当此函数的傅立叶级数收敛情况如下图所示．当n分别1,2,3,6取时，傅立叶级数的部分和Sn(x)图形与函数f(x)的方波逼近的情况，类似于本章开始演示的图形．时，傅立叶级数收敛于练习2[脉冲三角信号]已知脉冲三角信号f(x)是以为周期的周期函数，它在的表达式为如右图所示，将函数f(x

4、)展开成傅里叶级数。解因为函数f(x)是偶函数，所以f(x)sinnx是奇函数，因此它在上积分为零．于是由于函数f(x)在上连续，所以注：从以上几个例子可以得出下面结论：(1)当函数f(x)是以为周期的奇函数时，傅立叶级数只含正弦项，称为正弦级数．(2)当函数f(x)是以为周期的偶函数时，傅立叶级数只含余弦项，称为余弦级数．练习3[锯齿脉冲信号]如右图所示，将它展开成设锯齿脉冲信号函数f(x)的周期为，它在的表达式为傅里叶级数。解函数f(x)为非奇非偶函数．计算傅立叶系数如下．于是，函数f(x)的傅立叶级数展开式为