构造三角函数

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1、构造三角函数纵观近年高考,三角函数试题在全卷中占的比例约为10%—15%，就命题趋势而言，它仍然是今后一个时期内高考命题的重点和热点内容；就题型而言出现选择、填空、解答题均有可能；就难度而言一般处于中等偏下，很少出现难题；就范围而言，不仅注重考查公式的综合运用、函数的图像和性质等基础知识，还注重考查思维的灵活性和发散性，以及考生观察能力、运算推理能力和综合分析问题的能力。一构造三角函数关注函数图像的考查例1．(江西卷)函数在区间内的图象是（）分析:只需脱去绝对值化简即可看出图像的轮廓.解：函数故选D.点评：本题综合考查了绝

2、对值、三角函数大小的比较，三角函数的图像等综合知识，是高考中常考常新的题目，要求学生有较强的基础知识及读图识图的能力。二构造三角函数关注代数与三角的综合例2.（天津卷）已知函数是R上的偶函数，且在区间上是增函数.令，则(A)(B)(C)(D)分析：根据函数奇偶性需要比较，，的大小，再根据函数的单调性知只要比较的大小即可。解：，因为，所以，所以，选A．点评：（1）比较三角函数的大小，只要把它转化为某一单调区间中的函数大小的比较即可。（2）解三角与函数的综合题，既要有扎实的三角功底，还要有过硬地函数基础知识和解题技能。三构造三

3、角函数关注正余弦定理的应用例3.（江西卷）．在中，角所对应的边分别为,,，求及解：由得∴∴3∴，又,∴由得即,∴,,由正弦定理得点评：正余弦定理在三角形中的应用年年必考,它综合考查三角函数的相关知识,必须有扎实的三角功底,才有得到有效地分数,因而要倍加重视.四构造三角函数关注证明与化简求值例4.（海南卷）=（）A.B.C.2D.分析：把分子分母化成同一角度的三角函数，再设法利用三角公式进行化简。解:===2选C。点评：解三角化简或恒等式的证明问题，一是要有明确的解题方向，二是要熟练地综合运用三角公式并掌握一定的方法和技巧。

4、五构造三角函数关注三角与向量的结合例5.（山东卷）已知，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝()，n＝（cosA,sinA）.若m⊥n，且cosB+bcosA=csinC，则角B＝.分析:由向量垂直的充要条件得到一个三角关系式,可求出A,进而由正弦定理等三角知识求出B.解：点评:以向量为背景的三角函数问题,应用向量知识实行转化是解决问题的前提，如果没有扎实的向量基础知识，问题就无法解决。六构造三角函数关注三角与不等式的综合例6.(全国一卷)设的内角所对的边长分别为，且．(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求的最大值．分析:

5、(1)只需“切化弦”利用正弦定理即可，(2)可通过化简利用均值不等式求解.解：（Ⅰ）在中，由正弦定理及可得即，则；（Ⅱ）由得当且仅当时，等号成立，3故当时，的最大值为.点评:三角形中的三角问题,一般来说都要用到正余弦定理,对于正、余切函数必要时要化成弦来解决.本例中求的最值联想到均值不等式至关重要.七构造三角函数关注平移问题的考查例7.（湖北卷）将函数的图象F按向量平移得到图象,若的一条对称轴是直线,则的一个可能取值是()A.B.C.D.分析:按向量平移公式求出平移后的函数解析式，再根据对称轴用待定系数法求之。解：平移得到

6、图象的解析式为,对称轴方程，把带入得，令，点评:向量的平移和三角函数的对称性都是三角函数中的重要内容,也是每年高考中的重点,是高考中的重要得分点，要引起高度重视.八构造三角函数关注值域问题的考查例8(重庆卷)函数f(x)=(0≤x≤2)的值域是（）(A)[-,](B)[-,](C)[-,](D)[-,]分析:本题的函数关系式不能直接用配方法和单调性法求解,但可用换元法把无理式化为有理式求解.解:令(1≤t≤3)，则sin2x=,当0≤x≤2时,sinx=,故f(x)==×===≤=.当且仅当t=时取等号。同理可得当

7、时，f(x)≥-，综上可知的值域为[-,]，故选C。点评：(1)三角函数式的值域要合理变形转化为熟知的函数的值域问题，在求解时要注意函数的定义域对函数最值的影响，同时要注意正(余)弦函数的有界性和单调性.(2)形如y=ax+b±的函数值域问题,如果不能直接求解,一般令t=将无理函数转化为熟悉的函数求解;(3)本题是换元法和不等式法的综合利用.3