微分方程模型—人口模型与预测实验报告

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1、2012——2013学年第2学期合肥学院数理系实验报告课程名称:数学模型实验项目:微分方程模型—人口模型与预测实验类别:综合性□设计性□验证性□专业班级:10级数学与应用数学(2)班姓名:王倩学号:1007022039实验地点:数理系机房实验时间:2013年5月2日指导教师:闫晓辉成绩:6一.实验目的:掌握常微分方程模型的建模方法,并能用数值算法或MATLAB库函数求解。二.实验内容:下表列出了中国1982-1998年的人口统计数据,取1982年为起始年(),万人,万人。年19821983198419851

2、9861987198819891990人口(万人)101654103008104357105851107507109300111026112704114333年19911992199319941995199619971998人口(万人)115823117171118517119850121121122389123626124810实验要求:1、建立中国人口的指数增长模型,并用该模型进行预测,与实际人口数据进行比较。2、建立中国人口的Logistic模型,并用该模型进行预测,与实际人口数据进行比较。3、绘图,

3、在图中标出中国人口的实际统计数据,并画出两种模型的预测曲线。三.实验方案(程序设计说明)模型一:指数增长模型(马尔萨斯(Malthus)模型)假设:人口净增长率r是一常数符号:时刻时的人口,可微函数时的人口则6于是x(t)满足如下微分方程:解为:模型二:Logistic模型人口净增长率应当与人口数量有关,即:r=r(x)从而有:对马尔萨斯模型引入一次项(竞争项),令r(x)=r-ax此时得到微分方程:或可改写成:分离变量:两边积分并整理得:令x(0)=,求得:满足初始条件x(0)=的解为:易见:四.实验步骤

4、或程序(经调试后正确的源程序)1、matlab源程序%以1982-1998年共计17个数据为例进行拟合:t=0:16;%输入数据s=[101654103008104357105851107507109300111026112704114333115823117171118517119850121121122389123626124810];6y=log(s);p=polyfit(t,y,1)2、matlab源程序t=0:16;s=101654*(1+0.0131).^t;plot(t,s,'r')holdo

5、nt=0:16;s=[101654103008104357105851107507109300111026112704114333115823117171118517119850121121122389123626124810];plot(t,s,'o')holdont=0:16;s=200000./(1+(200000/101654-1)*exp(-0.029*t));plot(t,s,'c')五.程序运行结果1、运行结果p=0.013111.5342预测公式预测1991--1998年的人口数量可得,19

6、98年的由指数增长模型预测出的人口数于实际人口数相差最小,而其他年份的真实值与预测值之间有差别:年实际人口(万人)指数增长模型(万人)误差199111433319921158231158194199311717111732515419941185171188503336199511985012039554519961211211219608391997122389123545115619981236261251521526由1991年开始,指数增长模型预测的结果很好的反映了实际情况。按此模型预测现在中国人口

7、已超过13亿,到2016年中国人口将超过15亿。我们看到,尽管中国出台了计划生育的措施,但中国近几年仍处于高生育期,按指数增长模型预测的结果均比实际人口要多一些。同时由于中国人口调控政策比较得力,中国人口的自然增长率在逐年下降,虽仍有一定误差,但仍基本显示了1991--1998年的人口增长的趋势。2、运行结果如图所示:圈:人口的实际统计数据红线:人口的指数增长曲线x(t)=x0ert(x0=101654(1982人口),r=0.01116)6蓝绿线:人口的Logistic增长曲线N(t)=Nm/(1+(Nm

8、/N0-1)e-r*(t-t0))(Nm=200000(万),N0==101654(万)(1982人口))由预测公式预测1991--1998年的人口数量可得,1998年的由Logistic模型预测出的人口数于实际人口数相差最小,而其他年份的真实值与预测值之间有差别:年实际人口(万人)Logistic模型(万人)误差19911143331992115823115750731993117171117161101994

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