微分方程模型—人口模型与预测实验报告

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1、2012——2013学年第2学期合肥学院数理系实验报告课程名称：数学模型实验项目：微分方程模型—人口模型与预测实验类别：综合性□设计性□验证性□专业班级：10级数学与应用数学（2）班姓名：王倩学号：1007022039实验地点：数理系机房实验时间：2013年5月2日指导教师：闫晓辉成绩：6一.实验目的：掌握常微分方程模型的建模方法，并能用数值算法或MATLAB库函数求解。二.实验内容：下表列出了中国1982-1998年的人口统计数据，取1982年为起始年（），万人，万人。年19821983198419851

2、9861987198819891990人口（万人）101654103008104357105851107507109300111026112704114333年19911992199319941995199619971998人口（万人）115823117171118517119850121121122389123626124810实验要求：1、建立中国人口的指数增长模型，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。2、建立中国人口的Logistic模型，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。3、绘图，

3、在图中标出中国人口的实际统计数据，并画出两种模型的预测曲线。三.实验方案（程序设计说明）模型一：指数增长模型（马尔萨斯（Malthus）模型）假设：人口净增长率r是一常数符号：时刻时的人口，可微函数时的人口则6于是x（t）满足如下微分方程：解为：模型二：Logistic模型人口净增长率应当与人口数量有关，即：r=r(x)从而有：对马尔萨斯模型引入一次项（竞争项），令r(x)=r-ax此时得到微分方程：或可改写成：分离变量：两边积分并整理得：令x(0)=，求得：满足初始条件x(0)=的解为：易见：四.实验步骤

4、或程序（经调试后正确的源程序）1、matlab源程序%以1982-1998年共计17个数据为例进行拟合：t=0:16;%输入数据s=[101654103008104357105851107507109300111026112704114333115823117171118517119850121121122389123626124810];6y=log(s);p=polyfit(t,y,1)2、matlab源程序t=0:16;s=101654*(1+0.0131).^t;plot(t,s,'r')holdo

5、nt=0:16;s=[101654103008104357105851107507109300111026112704114333115823117171118517119850121121122389123626124810];plot(t,s,'o')holdont=0:16;s=200000./(1+(200000/101654-1)*exp(-0.029*t));plot(t,s,'c')五．程序运行结果1、运行结果p=0.013111.5342预测公式预测1991--1998年的人口数量可得，19

6、98年的由指数增长模型预测出的人口数于实际人口数相差最小，而其他年份的真实值与预测值之间有差别：年实际人口(万人)指数增长模型(万人)误差199111433319921158231158194199311717111732515419941185171188503336199511985012039554519961211211219608391997122389123545115619981236261251521526由1991年开始，指数增长模型预测的结果很好的反映了实际情况。按此模型预测现在中国人口

7、已超过13亿，到2016年中国人口将超过15亿。我们看到，尽管中国出台了计划生育的措施，但中国近几年仍处于高生育期，按指数增长模型预测的结果均比实际人口要多一些。同时由于中国人口调控政策比较得力，中国人口的自然增长率在逐年下降，虽仍有一定误差，但仍基本显示了1991--1998年的人口增长的趋势。2、运行结果如图所示：圈：人口的实际统计数据红线：人口的指数增长曲线x(t)=x0ert(x0=101654（1982人口），r=0.01116)6蓝绿线：人口的Logistic增长曲线N(t)=Nm/（1+（Nm

8、/N0-1）e-r*(t-t0)）(Nm=200000(万),N0==101654(万)(1982人口))由预测公式预测1991--1998年的人口数量可得，1998年的由Logistic模型预测出的人口数于实际人口数相差最小，而其他年份的真实值与预测值之间有差别：年实际人口(万人)Logistic模型(万人)误差19911143331992115823115750731993117171117161101994