第三节定积分换元积分法及分部积分法

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1、第三节定积分换元积分法与分部积分法教学目的：使学生熟练掌握定积分换元积分法与分部积分法教学重点：定积分换元积分法一、换元积分法定理假设函数f(x)在区间[a,b]上连续,函数x=j(t)满足条件:(1)j(a)=a,j(b)=b;(2)j(t)在[a,b](或[b,a])上具有连续导数,且其值域不越出[a,b],则有.这个公式叫做定积分的换元公式.证明由假设知,f(x)在区间[a,b]上是连续,因而是可积的;f[j(t)]j¢(t)在区间[a,b](或[b,a])上也是连续的,因而是可积的.假设F(x)是f(x)的一个原函数,则=F(b)-F(a).另一方面,因为{F[j(t)

2、]}¢=F¢[j(t)]j¢(t)=f[j(t)]j¢(t),所以F[j(t)]是f[j(t)]j¢(t)的一个原函数,从而=F[j(b)]-F[j(a)]=F(b)-F(a).因此.例1计算(a>0).解.提示:,dx=acost.当x=0时t=0,当x=a时.例2计算.解令t=cosx,则.提示:当x=0时t=1,当时t=0.或.例3计算.解.提示:.在上

3、cosx

4、=cosx,在上

5、cosx

6、=-cosx.例4计算.解.提示:,dx=tdt;当x=0时t=1,当x=4时t=3.例5证明:若f(x)在[-a,a]上连续且为偶函数,则.证明因为,而,所以.讨论:若f(x)在[

7、-a,a]上连续且为奇函数,问？提示:若f(x)为奇函数,则f(-x)+f(x)=0,从而.例6若f(x)在[0,1]上连续,证明(1);(2).证明(1)令,则.(2)令x=p-t,则,所以.例7设函数,计算.解设x-2=t,则.提示:设x-2=t,则dx=dt;当x=1时t=-1,当x=4时t=2.二、分部积分法设函数u(x)、v(x)在区间[a,b]上具有连续导数u¢(x)、v¢(x),由(uv)¢=u¢v+uv¢得uv¢=uv-u¢v,等式两端在区间[a,b]上积分得,或.这就是定积分的分部积分公式.分部积分过程:.例1计算.解.例2计算.解令,则.例3设,证明(1)当

8、n为正偶数时,;(2)当n为大于1的正奇数时,.证明=(n-1)In-2-(n-1)In,由此得.,,而,,因此,.例3设(n为正整数),证明,.证明=(n-1)In-2-(n-1)In,由此得.,.特别地,.因此,.课堂练习：1．求2．设，求。