z变换与离散时间傅里叶变换(dtft)

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1、第二章z变换和DTFT本章主要内容：1、z变换的定义及收敛域2、z变换的反变换3、z变换的基本性质和定理4、离散信号的DTFT5、z变换与DTFT的关系6、离散系统的z变换法描述§2.1z变换的定义及收敛域信号和系统的分析方法有两种：——时域分析方法——变换域分析方法连续时间信号与系统——LTFT离散时间信号与系统——ZTFT一、ZT的定义z是复变量，所在的复平面称为z平面二、ZT的收敛域对于任意给定序列x(n)，使其z变换X(z)收敛的所有z值的集合称为X(z)的收敛域。级数收敛的充要条件是满足绝对可和1）有限

2、长序列除0和∞两点是否收敛与n1和n2取值情况有关外，整个z平面均收敛。如果n2≤0，则收敛域不包括∞点如果n1≥0，则收敛域不包括0点如果n1<0

3、n

4、，a为实数，求ZT及其收敛域给定z变换X

5、(z)不能唯一地确定一个序列，只有同时给出收敛域才能唯一确定。X(z)在收敛域内解析，不能有极点，故：右边序列的z变换收敛域一定在模最大的有限极点所在圆之外左边序列的z变换收敛域一定在模最小的有限极点所在圆之内§2.2z反变换实质：求X(z)幂级数展开式z反变换的求解方法：围线积分法（留数法）部分分式法长除法z反变换:从X(z)中还原出原序列x(n)1、围数积分法求解（留数法）若函数X(z)zn-1在围数C上连续，在C以内有K个极点zk，而在C以外有M个极点zm，则有：1、围数积分法求解（留数法）根据复变函数理论

6、，若函数X(z)在环状区域内是解析的，则在此区域内X(z)可展开成罗朗级数，即而其中围线c是在X(z)的环状收敛域内环绕原点的一条反时针方向的闭合单围线。若F(z)在c外M个极点zm，且分母多项式z的阶次比分子多项式高二阶或二阶以上，则：利用留数定理求围线积分，令若F(z)在围线c上连续，在c内有K个极点zk，则：单阶极点的留数：思考：n=0,1时，F(z)在围线c外也无极点，为何2、部分分式展开法求解IZT：常见序列的ZT参见书p.54页的表2-1若函数X(z)是z的有理分式，可表示为：利用部分分式的z反变换和

7、可以得到函数X(z)的z反变换。例2设利用部分分式法求z反变换。解：3、幂级数展开法求解（长除法）:一般X(z)是有理分式，可利用分子多项式除分母多项式（长除法法）得到幂级数展开式，从而得到x(n)。根据收敛域判断x(n)的性质，在展开成相应的z的幂级数将X(z)X(z)的x(n)展成z的分子分母按z的因果序列负幂级数降幂排列左边序列正幂级数升幂排列例1ROC1:)1长除法示例解：由Roc判定x(n)是因果序列，用长除法展成z的负幂级数ROC2:)1解：由Roc判定x(n)是左边序列，用长除法展成z的正幂级数解：

8、X(z)的Roc为环状，故x(n)是双边序列极点z=1/4对应右边序列，极点z=4对应左边序列先把X(z)展成部分分式1、线性性§2.3Z变换的基本性质和定理R1∩R2R

9、a

10、RR2、序列的移位3、z域尺度变换（乘以指数序列）4、z域求导（序列线性加权）Z变换的基本性质（续）5、翻褶序列1/RR6、共轭序列7、初值定理8、终值定理Z变换的基本性质（续）9、有限项累加特性ZT的主要性质参见书p.69页的表2-210、序列的卷积和11、序列乘法12、帕塞瓦定理§2.4序列ZT、连续信号LT和FT的关系若：连续信号采样

11、后的拉氏变换LT——抽样序列：当两变换之间的关系，就是由复变量s平面到复变量z平面的映射，其映射关系为对比：进一步讨论这一映射关系：1s平面到z平面的映射是多值映射。辐射线ω=Ω0T平行直线Ω=Ω0正实轴ω=0实轴Ω=0Z平面S平面Ω:Ω:ω:ω:抽样序列在单位圆上的z变换，就等于其理想抽样信号的傅里叶变换数字频率w表示z平面的辐角，它和模拟角频率W的关系为在以后的讨论中，将用数字频率w来作为z平面上单位圆的参数，即所以说，数字频率是模拟角频率的归一化值，或是模拟频率对抽样频率的相对比值乘以2p§2.5离散信号的

12、付氏变换DTFT一、DTFT的定义变换对：称为离散时间傅里叶变换（DTFT）。FT存在的充分必要条件是：如果引入冲激函数，一些绝对不可和的序列，如周期序列，其傅里叶变换可用冲激函数的形式表示出来。二、比较ZT和DTFT的定义：利用ZT和DTFT的关系可以有ZT计算DTFT。序列的傅里叶变换是序列的z变换在单位圆上的值例1、计算门序列的DTFT(类似Sa(.)函数)(线性相