ch2-z变换与离散时间傅里叶变换-2.2

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1、（第四版）数字信号处理教程数字信号处理教程程佩青清华大学出版社浙江理工大学2013目录目录绪论第1章离散时间信号与系统第2章z变换与离散时间傅里叶变换(DTFT)第3章离散傅里叶变换(DFT)第4章快速傅里叶变换(FFT)第5章数字滤波器的基本结构第6章几种特殊滤波器及简单一、二阶数字滤波器设计第7章IIR数字滤波器的设计方法第8章FIR数字滤波器的设计方法第9章序列的抽取与插值第10章数字信号处理中的有限字长效应浙江理工大学2013目录目录2.1序列的z变换2.2离散时间傅里叶变换（DTFT）2.3模

2、拟信号xa()t、理想抽样信号xˆa()t、序列x(n)以及它们的拉普拉斯变换、z变换、傅里叶变换的关系，s平面到z平面的映射2.4离散线性移不变（LSI）系统的频域表征2.5本章部分内容涉及的MATLAB函数及例题浙江理工大学20132.22.2离散时间傅里叶变换（离散时间傅里叶变换（DTFTDTFT））2.2.1序列傅里叶变换定义2.2.2序列傅里叶变换的收敛性——DTFT的存在条件2.2.3序列傅里叶变换的主要性质2.2.4序列及其傅里叶变换的一些对称性质2.2.5周期性序列的傅里叶变换2.22.

3、2离散时间傅里叶变换（离散时间傅里叶变换（DTFTDTFT））2.2.1序列傅里叶变换定义序列傅里叶变换的定义∞jω−jnωXe()=∑xne()n=−∞为序列x(n)的傅里叶变换，可以用DTFT(DiscreteTimeFourierTransform)缩写字母表示。jωXe()是ω的连续函数。−jωn−j(ω+2πM)n由于e=e，其中M为整数，故有∞jω−j(ω+2πM)nj(ω+2πM)X(e)=∑x(n)e=X(e)n=−∞所以jω还是的周期函数，周期为2。X(e)ωπ2.22.2离散时间傅里

4、叶变换（离散时间傅里叶变换（DTFTDTFT））∞jω−jnωXe()=∑xne()n=−∞为求DTFT的反变换，用ejωm乘上式两边，并在-π~π内对ω进行积分，得到∞πjjmπjnjmωω=−ωω∫X(e)edω∫[∑x(n)e]edω−π−πn=−∞∞πj(mn)=ω−∑x(n)∫edω−πn=−∞1πjmn()−⎧1，当nm=因为edω()nm∫ωδ=⎨=−20π−π⎩，当nm≠1πxnXejjωωend所以()=∫()ωFT的逆变换−π2π2.22.2离散时间傅里叶变换（离散时间傅里叶变换（D

5、TFTDTFT））∞jω−jnωXe()=∑xne()n=−∞傅里叶变换对1π=jωjωnx(n)∫X(e)edω−π2π∞∑xn()<∞DTFT存在的充分条件n=−∞2.22.2离散时间傅里叶变换（离散时间傅里叶变换（DTFTDTFT））∞jjω−ωnXe()=∑xne()例：设x(n)=R(n)，求x(n)的DTFT。n=−∞N解：arg[(jω)]=X(ejω)ejXesin(2ω)设N=4X(ejω)=sin(ω)2/3ω⎡sin(2ω)⎤arg[X(ejω)]=−+arg⎢⎥2⎣sin(ω)2

6、/⎦2.22.2离散时间傅里叶变换（离散时间傅里叶变换（DTFTDTFT））x(n)=R(n)4sin(2ω)X(ejω)=sin(ω)2/3ω⎡sin(2ω)⎤arg[X(ejω)]=−+arg⎢⎥2⎣sin(ω)2/⎦2.22.2离散时间傅里叶变换（离散时间傅里叶变换（DTFTDTFT））2.2.2序列傅里叶变换的收敛性根据级数收敛的条件，序列傅立叶变换式存在的条件为∞∞∑x(n)e−jωn=∑x(n)<∞n=−∞n=−∞¾这要求序列满足绝对可和的条件¾该条件是序列傅氏变换存在的充分但非必要条件©有

7、些序列虽然不满足以上条件，但满足平方可和，其傅立叶变换依然存在。©对于一些既不满足绝对可和的条件也不满足平方可和条件jωn的序列，例如u(n)，e，一些周期序列等，若引入频域的冲激函数δ(ω)，它们的傅立叶变换也存在。2.22.2离散时间傅里叶变换（离散时间傅里叶变换（DTFTDTFT））1π=jωjωn例:已知序列的傅立叶变换如下，求它的反变换。x(n)∫−X(e)edωπ2πj⎧10≤

8、ω

9、≤ωcH(eω)=⎨0ω<

10、ω

11、≤π⎩c1ω解：−1jωcjωnh(n)=F[H(e)]=∫edω−2ωπcj

12、ωcn−jωcnsinn1eeωc=(−)=,−∞

13、c

14、=c

15、H(ejω

16、)d=c∑∑∫ω−n2ωn=−∞n=−∞ππcπ上式的求和利用了后面要介绍的傅立叶变换的帕塞瓦定理(Parseval)。2.22.2离散时间傅里叶变换（离散时间傅里叶变换（DTFTDTFT））2.2.3序列傅里叶变换的主要性质1、线性6、频域卷积定理2、序列的移