概率论与数理统计2-1

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1、第二章随机变量及其分布2.1随机变量一、随机变量概念的产生在实际问题中，随机试验的结果常和数量相联系，由此就产生了随机变量的概念.1、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）.例掷一颗骰子,考察面上出现的点数；七月份北京的最高温度；每天从郑州站下火车的人数；昆虫的产卵数；2、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就是说，把试验结果数值化.例抛掷一枚硬币可能出现的两个结果，也可以用一个变量来描述：正如裁判员在运动场上不叫运动员的名字而叫号码一样，二者建立了一种对应关系.这种对应关系在数学上理解为

2、定义了一种实值函数.ω.X(ω)R这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函数一样吗？（1）它随试验结果的不同而取不同的值，所以在试验之前只知道它可能取值的范围，而不能预先肯定它将取哪个值.（2）由于试验结果的出现具有一定的概率，于是这种实值函数取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率.定义2.1.1设随机试验E的样本空间={ω}，如果对于每一个ω∈有实数X(ω)和它对应，这样就得到一个定义在上的实值单值函数X(ω);称X(ω)为随量机变而表示随机变量所取的值时,一般采用小写字母x,y,z等.随机变量通常用大写字母X,Y,Z或希腊字母

3、,η等表示简记为r.v.(randomvariable)。例如，从某一学校随机选一学生，测量他的身高.我们可以把可能的身高看作随机变量X,然后我们可以提出关于X的各种问题.如P(X>1.7)=？P(X≤1.5)=?P(1.5

4、的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究.事件及事件概率随机变量及其取值规律三、随机变量的分类如“取到次品的个数”，“收到的呼叫数”等.随机变量离散型随机变量非离散型随机变量所有取值可以逐个一一列举如，“电视机的寿命”，实际中常遇到的“测量误差”等.全部可能取值不仅无穷多，而且还不能一一列举，而是充满一个区间.—其中一重要情形：连续型随机变量设X是一个离散型随机变量，它可能取的值是x1,x2,…。为了描述随机变量X，我们不仅需要知道随机变量X的取值，而且还应知道X取每个值的概率。2.2离散型随机变量及其分布这样,

5、我们就掌握了X这个随机变量取值的概率规律.从5个球中任取3个球，取到的白球数X是一个随机变量。X可能取的值是：0,1,2。取每个值的概率为例1且定义2.2.1：设xk(k=1,2,…)是离散型随机变量X所取的一切可能值，称k=1,2,…为离散型随机变量X的概率分布或分布律.一、离散型随机变量概率分布的定义离散型随机变量X的概率分布或分布律，也可以用表格的形式来表示：Xx1x2...xn...Pp1p2...pn...其中(k=1,2,…)满足：k=1,2,…（1）（2）用这两条性质判断一个函数是否是概率分布解:依据概率分布的性质，pk=P(

6、X=k)≥0,a≥0，从中解得欲使上述函数为概率分布，应有这里用到了常见的幂级数展开式例2.设随机变量X的概率分布为：k=0,1,2,…,试确定常数a.因为，注：若已知离散型随机变量X的概率分布k=1,2,…则对于任意实数a

7、)确定随机变量的所有可能取值;(2)计算每个取值点的概率(3)列出随机变量的概率分布表.例3：袋内有5个黑球，3个白球，每次抽取一个，不放回，直到取得黑球为止。记X为取到白球的数目，Y为抽取次数，求X、Y的概率分布及至少抽取3次的概率。解:(1)X的可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=5/8,P(X=1)=(3×5)/(8×7)=15/56,类似有P(X=2)=(3×2×5)/(8×7×6)=5/56,P(X=3)=1/56,所以,X的概率分布为X0123P5/815/565/561/56(3)P(Y≥3)=P(Y=3)+P(Y=4)=

8、6/56(2)Y的可能取值为1,2,3,4,P(Y=1)=P(X=0)=5/8,P(Y=2)=P(X=1)=15/56,类似有P(Y=3)=P(X=2)=5/56,P(Y=4)=