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《1.3辗转相除与更相减损术》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、辗转相除法与更相减损术（一）、自主预习1.回顾算法的三种表述：自然语言程序框图程序语言（三种逻辑结构）（五种基本语句）顺序结构、条件结构、循环结构输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句2.思考：1.小学学过的求两个数最大公约数的方法是什么？先用两个公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来.试求（1）求25和35的最大公约数（2）求49和63的最大公约数25（1）5535749（2）77639所以，25和35的最大公约数为5所以，49和63的最大公约数
2、为72.除了用这种方法外还有没有其它方法？试算出8251和6105的最大公约数.（二）展示交流1辗转相除法（欧几里得算法）例1.用辗转相除法求8251和6105的最大公约数8251=6105×1+21461.为什么8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数？（算法原理）6105=2146×2+1813探究：2146＝1813×1＋3331813＝333×5＋148333＝148×2＋37148＝37×4＋0则37为8251与6105的最大公约数。2.辗转相除法应用时的计算规律是S1
3、：用大数除以小数S2：除数变成被除数，余数变成除数S3：重复S1，直到余数为0并将除数叫作这两个数的最大公约数。整除思想被除数=除数*商+余数辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤，这实际上是一个循环结构。8251=6105×1+21466105=2146×2+18132146=1813×1+3331813=333×5+148333=148×2+37148=37×4+0m=n×q＋r用程序框图表示出右边的过程r=mMODnm=nn=rr=0?是否思考：辗转相除法中的关键步骤是哪种逻辑结
4、构？（三）点拨提升（1）算理：所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数。若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数。（2）算法步骤第一步：输入两个正整数m,n(m>n).第二步：计算m除以n所得的余数r.第三步：m=n,n=r.第四步：若r＝0,则m,n的最大公约数等于m；否则转到第二步.第五步：输出最大公约数m.（3）程序框图开始输入m,nr=mMODnm=nr=0?是否n=r输出m结束INP
5、UT“m,n=“;m,nDOr=mMODnm=nn=rLOOPUNTILr=0PRINTmEND（4）程序强调在画程序框图时，要让学生知道构造循环结构的步骤是1确立循环体:求m除以n的余数r,m=n,n=r2初始化变量：输入m,n3设定循环控制条件：r=0？思考:能否用当型循环结构写出辗转相除法的算法步骤、程序框图和程序？2《九章算术》——更相减损术算理：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。若是，则用
6、2约简；若不是则执行第二步。第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，则这个等数就是所求的最大公约数。我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。例2用更相减损术求98与63的最大公约数解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减98－63＝35 63－35＝28 35－28＝7 28－7＝2121－7＝2114－7＝7所以，98和63的最大公约数等于7先约简，再求21与18的最大公约数,然后乘
7、以两次约简的质因数4用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数．练习：（1）算理：所谓更相减损术，就是对于给定的两个数，用较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一对数，再用较大的数减去较小的数，反复执行此步骤直到差数和较小的数相等，此时相等的两数便为原来两个数的最大公约数。用类似的方法总结更相减损术的算理，写出算法步骤，编写程序框图和程序。（2）算法步骤第一步：输入两个正整数a,b(a>b);第二步：若a不等于b,则执行第三步；否则转到第五步；第三步：把a-b的差赋予r;第四步：如果
8、b>r,那么把b赋给a,把r赋给b;否则把r赋给a，执行第二步；第五步：输出最大公约数b.（3）程序框图（4）程序INPUT“a,b=“;a,bWHILEa<>br=a-bIFb>rTHENa=bb=rELSEa=rENDIFWENDPRINTbEND开始输入a,ba≠b?是否输出b结束b=ra=br=a-br
