第四讲功和能

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1、第四讲功和能湖南郴州市湘南中学陈礼生一、知识点击1．功、功率和动能定理⑴功功是力对空间的积累效应．如果一个恒力作用在一个物体上，物体发生的位移是，那么力在这段位移上做的功为W=Fscosθ在不使用积分的前提下，我们一般只能计算恒力做的功．但有时利用一些技巧也能求得一些变力做的功．⑵功率：作用在物体上的力在单位时间内所做的功．平均功率：瞬时功率：⑶动能定理①质点动能定理：②质点系动能定理：若质点系由n个质点组成，质点系内任何一个质点都会受到来自于系统以外的作用力（外力）和系统内其他质点对它的作用力（内力），在质点运动时这些力都将做功．即2．虚功原理：许多

2、平衡状态的问题，可以假设其状态发生了一个微小的变化，某一力做了一个微小的功△W，使系统的势能发生了一个微小的变化ΔE，然后即可由ΔW=△E求出我们所需要的量，这就是虚功原理．3．功能原理与机械能守恒⑴功能原理：物体系在外力和内力（包括保守内力和非保守内力）作用下，由一个状态变到另一个状态时，物体系机械能的增量等于外力和非保守内力做功之和．第21页共21页因为保守力的功等于初末势能之差，即⑵机械能守恒：当质点系满足：，则ΔE=0即EK+EP=EK0+EP0=常量机械能守恒定律：在只有保守力做功的条件下，系统的动能和势能可以相互转化，但其总量保持不变．说明

3、：机械能守恒定律只适用于同一惯性系．在非惯性系中，由于惯性力可能做功，即使满足守恒条件，机械能也不一定守恒．对某一惯性系W外=0，而对另一惯性系W外≠0，机械能守恒与参考系的选择有关。4．刚体定轴转动的功能原理若刚体处于重力场中，则：M外=M其外+MG（M其外表示除重力力矩MG以外的其他外力矩）W=W其外+WG=（M其外+MG）θ=EKr而即为重力场中刚体定轴转动的功能原理．若呱，即M其外＝0，则：刚体机械能守恒．二、方法演练类型一、动力学中有些问题由于是做非匀变速运动，用牛顿运动定律无法直接求解，用动能定理，计算细杆对小环做的功也比较困难，因此有时在

4、受力分析时必须引入一个惯性力，这样就可以使问题简化很多。例1．如图4—2所示，一光滑细杆绕竖直轴以匀第21页共21页角速度ω转动，细杆与竖直轴夹角保持不变，一个相对细杆静止的小环自离地面h高处沿细杆下滑．求小球滑到细杆下端时的速度．分析和解：本题中由于小环所需向心力不断减小，因此小环不是做匀变速运动，用牛顿运动定律无法直接求解，用动能定理，计算细杆对小环做的功也比较困难，因此我们选择细杆做参考系，分析小环受力时必须加上一个惯性力，小环在旋转的非惯性系中，虽然有径向运动，受到科里奥利力的作用，但小环在切向无位移，科里奥利力不做功．惯性离心力,随半径r的减

5、小均匀减小，所以小环由半径r0处移到下端r=0处，惯性离心力对r的平均值为惯性离心力做的功：重力做功为：W2=mgh，由动能定理得类型二、在功能关系的问题中有些也牵涉到速度关联的问题，在解题中必须注意到它们之间的约束条件，找出有关速度关系，才能准确利用功能原理即可求解．例2．如图4—3所示，一根长为的细刚性轻杆的两端分别连结小球a和b，它们的质量分别为ma和mb．杆可绕距a球为处的水平定轴O在竖直平面内转动．初始时杆处于竖直位置，小球b几乎接触桌面．在杆的右边水平桌面上，紧挨着细杆放着一个质量为m的立方体匀质物块，图中ABCD为过立方体中心且与细杆共面

6、的截面．现用一水平恒力F作用于a球上，使之绕O轴逆时针转动，求当a转过第21页共21页角时小球b速度的大小，设在此过程中立方体物块没有发生转动，且小球b与立方体物块始终接触没有分离．不计一切摩擦．解析：如图4—4所示，用表示a转过。角时b球速度的大小，表示此时立方体速度的大小，则有由于b与正立方体的接触是光滑的，相互作用力总是沿水平方向，而且两者在水平方向的位移相同，因此相互作用的作用力和反作用力做功大小相同，符号相反，做功的总和为0.因此在整个过程中推力F所做的功应等于球a、b和正立方体机械能的增量．现用表示此时a球速度的大小，因为a、b角速度相同，

7、,0，所以得根据功能原理可知将①、②式代人③可得解得类型三、一些平衡状态的问题，用平衡条件很难或无法求解，这时可以假设其状态发生了一个微小的变化，就可以设想某一力做了一个微小的功△W，然后用虚功原理就可以很简单地解答出问题．例3．如图4—5所示，一轻质三足支架每边长度均为，每边与竖直线成同一角度θ，三足置于一光滑水平面上，且恒成一正三角形．现用一绳圈套在三足支架的三足上，使其不能改变与竖直线间的夹角，设三足支架负重为G，试求绳中张力FT．第21页共21页分析和解：在本题这可以取与原平衡状态逼近的另一平衡态，从而虚设了一个元过程，此过程中所有元功之和为零

8、，以此为基本关系列出方程，通过极限处理，从而求得最后结果．分析支架受力：由于负重受到重力G，支