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1、第二章解析函数§2.1解析函数§2.2函数可导的充要条件§2.3初等解析函数§2.1解析函数1复变函数的导数2解析函数2.1.1复变函数的导数(1)导数的定义定义2.1设是定义在区域D上的存在，则称在点可导,并把这个极限值称为在点的导数，记做复变函数,z0是区域D内的定点.若极限定义中的极限式可以写为即当在点可导时,注意的方式是任意的.此时，对D内任意一点z,有也可用等表示在z点的导数.若在区域D内每一点都可导,则称在区域D内可导.则例2.1设在复平面内处处可导，且解因为所以例2.2证明在复面内处处连续，但处处不可
2、导.证明对复平面内任意点z,有故这说明在复面内处处连续.但是,设沿着平行于x轴的方向趋向于0,即所以的导数不存在.设沿着平行于y轴的方向趋向于0,即(2)可导与连续的关系函数f(z)在z0处可导，则在z0处一定连续,但函数f(z)在z0处连续不一定在z0处可导.(3)求导法则复变函数中导数的定义与一元实函数导数的定义在形式上完全一致，同时，复变函数中的极限运算法则也和实函数中一样，因而实函数中的求导法则可推广到复变函数中，且证明方法相同.求导公式与法则:(1)其中c为复常数.(2)其中n为正整数.其中其中与是两个互
3、为反函数的单值函数,且2.1.2解析函数定义2.2设在区域D有定义.(1)设,若存在的一个邻域，使得在此邻域内处处可导,则称在处解析,也称是的解析点.(2)若在区域D内每一点都解析，则称在区域D内解析,或者称是区域D内的解析函数.(3)设G是一个区域，若闭区域且在G内解析，则称在闭区域上解析.函数在处解析和在处可导意义不同，前者指的是在的某一邻域内可导,但后者只要求在处可导.复变函数在区域内解析与在该区域内可导是等价的.事实上，复变函数在区域内解析显然在该区域内可导.反之,设函数在区域D内可导,则对任意存在z的某一
4、个邻域U,使得UD,由在D内可导,可知在U内可导,即在z处解析.若函数在处不解析，则称是的奇点.若是的奇点,但在的某邻域内,除外,没有其他的奇点，则称是函数的孤立奇点.由例2.1和例2.2知,函数是全平面内的解析函数，但是函数是处处不解析的连续函数.根据求导法则，易得到下面的结论.设函数在区域D内解析,则也在D内解析.当时,是的解析点.特别地,多项式P(z)在全平面内解析,有理分式在复平面内除分母为零的点之外解析,分母为零的点是有理分式的孤立奇点.例2.3证明在处可导,但处处不解析.证明根据导数的定义,因此在处可
5、导，且当时,由得故虽然但是当z分别从平行于x,y轴方向趋于z0时，分别以1和-1为极限，因此不存在.又因为所以不存在，即在时不可导,从而在复平面内处处不解析.§2.2函数可导的充要条件2函数可导的充要条件1函数可微的概念复变函数可微的概念在形式上与一元实变函数的微分概念完全一致.复变函数可微与可导是否也具有一元实变函数可微与可导的关系？2.2.1函数可微的概念定义2.3设函数在的某邻域内有定义,若存在复常数A,使得其中则称在点可微.引理复变函数在点可导的充分必要条件是在点可微，且证明若存在，设则令则且反之，如果则令
6、则存在.这个引理表明,函数在可导与在可微等价.与一元实函数类似,记称之为在处的微分.如果函数在区域D内处处可微,则称在区域D内可微,并记为2.2.2函数可导的充要条件定理2.1复变函数在点处可微(即可导)的充分必要条件是二元函数在处都可微，并且满足Cauchy-Riemann方程此时证明必要性.若存在，设(a,b是实常数).由,其中显然,当时，则于是有由两个复数相等的条件可得设因此，在处可微，且充分性.若在处可微,且满足Cauchy-Riemann方程.令则其中且当时，于是由可得由,可知在处可微,且并有如下结论成立
7、定理2.2复变函数在区域D内解析的充分必要条件是在区域D内可微,且在D内满足Cauchy-Riemann方程在区域D内解析函数的判定方法:(1)如果能够用求导公式或求导法则验证复变函数f(z)的导数在区域D内处处存在,则可直接断定f(z)在区域D内解析.(2)如果复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)中的函数u(x,y)和v(x,y)在区域D内各个一阶偏导数连续(因而u(x,y)和v(x,y)在区域D内可微),并且满足Cauchy-Riemann方程,则由解析函数的充要条件可以断定函数f(z)在区域D解析.
8、例2.4讨论下列函数的可导性和解析性：例2.5如果f(z)在区域D内解析，且满足下列条件之一，则f(z)在D内为常数。和在全平面内处处可微，但只有在实轴上满足Cauchy-Riemann方程,所以在实轴上可微.但在任何一点的邻域内都有不可微的点，因此，处处不解析.例2.6设问在何处可微?是否解析?解记显然,函数例2.7设其中a,b,c,d是常数，问它们取何值
