锐角三角函数值定义

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1、銳角三角函數值的定義　陳譽偉    相似三角形的性質中，一直角三角形某兩邊的比值，以及另一個相似直角三角形之ㄧ對應邊的邊長，即可求得另對應邊的長直角三角形ABC(其中∠C為直角)，相異兩邊的比值有下列六個：BA Ca(∠A的對邊)c(斜邊) b(∠A的鄰邊)  　       為了便於稱呼及書寫，我們將這六個比值分別用數學符號表示如下： 當∠A的度數為θ時，我們常用sinθ、cosθ、tanθ、cotθ、secθ與cscθ分別表示sinA、cosA、tanA、cotA、secA、cscA。      如此一來，給定一個θ的值(0°＜θ＜90°)，則sinθ、cosθ、

2、tanθ、cotθ、secθ與cscθ的值都隨之定，因此，它們都是θ的函數，依序稱為正弦函數、餘弦函數、正切函數、餘切函數、正割函數與餘割函數，這六個函數統稱為三角函數。若三角形ABC中，∠C=90°，∠A的度數為θ，以=a，=b與=c就有 　21，。，。，。，。，。，。　　三角函數的基本關係　    倒數、商數、平方關係　 由上一節的討論，我們不難發現，這六個三角函數並非毫不相干的，他們彼此相互關聯　    我們稱此為倒數關係　   21             我們稱此為商數關係　        此外我們還可由畢氏定理得出下述平方關係：　+     平方關係 pr

3、oof`：       　              　餘角關係   sinθ、cosθ、tanθ、cotθ、secθ及cscθ這六個三角函數之間除了有上述倒數關係、商數關係以及平方關係之外，尚有下面的餘角關係：設△ABC中，∠C=90°，∠A=θ。因∠A+∠B=90°，所以∠B=90°-θ，又因∠B的對邊是∠A的鄰邊，∠B的鄰邊是∠A的對邊，所以有，故有sin(90°-θ)=cosθ。　21同理可推得下述餘角關係：　           若0°＜θ≦45°，則45°≦90°-θ＜90°。 因此我們只要知道介於0°與45°之間之ㄧ銳角θ的三角函數值，即可求出它的餘角9

4、0°-θ的三角函數值。同界角 同界角有相同的三角函數值　三角函數在四個象限之正負關係：21 第一象限第二象限第三象限第四象限，＋＋－－，＋－－＋，＋－＋－　　三角函數的圖形在這一節裡，我們將引進角的另一種度量單位，以便把三角函數看作實數間的對應關係，並在座標平面上描繪其圖型，研究這些函數的特性。　弧度　讓我們先來回顧一下，我們是怎麼量出∠ABC是多少度的？                                                                                                            

5、                                     由於角的大小完全由其兩邊張開的程度來決定，與其兩邊的長度是無關的。以任意長γ為半徑畫一圓O，將其圓周等分為360格，那麼每一格的弧所對的圓心角就是1°，一個圓周角就是360°。如果我們將∠ABC的頂點B放在圓心O上，並設其兩邊與(或其延長線)分別與圓O交於P與Q點，那麼∠ABC的度數及等於∠POQ的度數，且，因此∠ABC=∠POQ=　21(1)由於圓O的周長為，故∠ABC=∠POQ=。在上式中，為一常數，我們規定此常數為一弧度。亦即360°=弧度。因此，1°=弧度，故有　          ()

6、°=1弧度，弧度   由(1)式可得         (2)  ∠POQ=弧度　根據(2)式可得          ∠POQ=1弧度的意思即PQ的弧長=圓O的半徑 　扇形的弧長與面積由以上討論，我們知道：若圓O的半徑為r，P與Q為圓周上兩點，則∠POQ=弧度。由此可知：　若圓心角∠POQ=θ弧度，則PQ的弧長=rθ 設∠POQ=θ弧度，則PQ的弧長為rθ，因此PQ的弧長為圓O周長之比，故扇形POQ面積=×圓O的面積=π=　因此我們有　21若∠POQ=θ弧度，則扇形POQ面積=  要特別注意：當我們用弧度為單位表示依角的大小時，習慣上常把〝弧度〞兩字省略不寫。     

7、                     要注意：sinπ°不可簡記為sinπ，因為根據習慣表示法，sinπ的意思是sin(π弧度)，亦即為sin180°，而非sinπ°。　三角函數的圖形及其特性　正弦函數的圖形及其特性　描繪函數圖形最直接的方法就是描點法：先求出某些特殊的值，並列表如下：　…--0…  …--0…  　 在依此標出其上的一些點，然後依次用平滑曲線將這些點連起來。　　21                     函數的週期一個函數的圖形若每隔一固定單位長都一樣，亦即可找到固定的正數a，使得對於其定義域中每一元素，恆有，我們就稱這個函數