第4章-多项式插值方法

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1、第四章多项式插值方法4.1引言4.2Lagrange插值多项式4.3Newton插值多项式4.4分段低次插值1则称P(x)为f(x)的插值函数。这时，我们称[a,b]为插值区间，称为插值节（结）点，称（4-1）为插值条件，f(x)为被插函数。求插值函数P(x)的方法称为插值法。4.1引言定义4.1设y=f(x)在区间[a,b]上连续，在[a,b]内n+1个互不相同的点上取值。如果存在一性态较好的简单函数P(x)，使得2从几何上看，插值法就是确定一个简单曲线为y=P(x)，使其通过给定的n+1个点，并用它近似已知曲线y=f(x).图2-13特别地，当P(x)为次数

2、不超过n次的代数多项式时，相应的插值法称为多项式插值；当P(x)为三角多项式时，相应的插值法称为三角插值；当P(x)为分段解析函数时，相应的插值法称为分段插值。其中三角插值主要用于处理周期函数。本章仅介绍最基本的多项式插值。定理4.1在n+1个互异点上满足插值条件(4-1)的次数不超过n次的插值多项式Pn(x)存在且惟一。4记实系数多项式即有所以，解存在且惟一，这说明由式(4-2)表示的Pn(x)存在且惟一，证毕。证明：54.2Lagrange插值多项式4.2.1线性插值与二次插值设给定函数两点，经过这两点的多项式插值就是直线称给定为线性插值多项式。称为关于点的

3、线性插值基函数，其在节点处满足：64.2.1线性插值与二次插值假定插值节点为，，，要求二次插值多项式几何上是通过三点的抛物线.可以用基函数的方法求的表达式，是二次函数，74.2.2拉格朗日插值多项式解而此因式已为n次多项式，故应有求的n+1个次数次的插值多项式满足8再由称为n次拉格朗日（Lagrange）插值基函数或称为拉格朗日基本插值多项式。(据之，我们可构造多项式9它称为n次拉格朗日插值多项式。引进n+1次与n次多项式函数为n次拉格朗日插值多项式可表示为10误差估计定理注（1）余项公式主要用于理论分析。实际使用时，代之以误差估计式4.2.2插值余项与误差估计

4、定理4.2设f(x)的n+1阶导数在[a,b]存在，则对任何，插值余项满足11（2）插值节点的选取应尽量靠近插值点，以使尽可能小，以减小误差。特别地，当k=1时12例4.1：已知函数x-101y1.250.751.25解：13144.3Newton插值多项式问题：利用插值基函数得到的拉格朗日插值多项式有何优缺点？优点：结构紧凑，便于理论分析，易于编程求解。缺点：当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，整个公式也将发生变化.问题：如何改进？154.3Newton插值多项式4.3.1均差的定义和性质定义：称为函数关于点的一阶均差.称为关于点的二阶均差.一般地，称

5、为的阶均差（均差也称为差商）.164.3Newton插值多项式4.3.1均差的定义和性质利用如下均差表来计算均差：17解根据给定函数表造出均差表给出的如下函数表，由此计算关于点0,2,4,8的三阶均差.例9-39-3108420-2.875-18-3940.98437551298-6.5-32100三阶均差二阶均差一阶均差18均差的性质：这性质又称为均差关于自变量的对称性。19根据均差定义，把看成上一点，可得4.3Newton插值多项式4.3.2Newton均差插值多项式20只要把后一式代入前一式，就得到其中4.3.2Newton均差插值多项式21（*）是同La

6、grange余项定义的.显然，由确定的多项式满足插值条件，且次数不超过n的多项式，其所给出形式的系数为称为牛顿（Newton）均差插值多项式.系数就是均差表4-1中主对角线上的各阶均差，它比拉格朗日插值计算量省，且便于程序设计.4.3.2Newton均差插值多项式22但（3.7）更有一般性，它在是由离散点给出的情形或导数不存在时也是适用的.（*）为插值余项，由插值多项式惟一性知，它与拉格朗日插值多项式的余项应该是等价的.事实上，利用均差与导数关系式就可以证明这一点.牛顿插值多项式的优点还在于它的递进性，当增加插值节点时，只要在原来插值多项式的基础上增加一项即可.

7、（3.7）4.3.2Newton均差插值多项式23解由于是3次函数,所以取靠近0.45的4个点产生均差表.例4.6根据给定数据(见p51的表)，用3次牛顿插值多项式计算f(0.25)的近似值,并估计近似误差.4.3.2Newton均差插值多项式一阶二阶三阶0.20.5877850.40.9510571.8163600.60.9510570.00000-4.5409000.80.587785-1.816360-4.5409000.0000024于是按牛顿插值公式，将数据代入得25为了估计误差，增加一个靠近0.45的插值点0.0，在均差表后加一行（均差与节点排列无关

8、）.一阶二阶三阶四阶0.