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1、数形结合思想在应用向量方法解题中的体现浙江省象山中学张小凯315700在新编高中数学教材（实验本）增加的向量这一章中，向量的运算法则以及运算律的给出，容易使学生认为向量是属于代数内容，但向量实际上又是属于几何范畴的.向量有时也会脱离图形而进行形式运算，但所研究的内容大都与图形有关.向量具有“数”与“形”的双重特征，因而它可以作为联系代数与几何的纽带，成为讨论数形结合的有力工具.著名数学家拉格朗日曾经说过：“只要代数同几何分道扬镳，它们的进展就缓慢.它们的应用就狭窄.但当这两门科学结合成伴侣时，它们就互相吸收新鲜的活力，从而以
2、快捷的步伐走向完美.”我国著名数学家华罗庚先生也有“数缺形时少直观，形缺数时难入微”的精辟论述.学好向量这一块内容，能进一步促进学生对代数几何的理解，运用代数几何化、几何代数化的方法，从多角度思维，充分体现了在应用向量工具来解题中，数形结合的思想方法给我们带来的快捷与便利.（一）代数几何化平面向量沟通了代数与几何的联系，因此对某些代数问题，如能巧妙地构造向量，便能将其转化为向量问题，从而使问题简化.例1、证明：对于任意两个向量,，都有证明：若,中有一个为，则不等式显见成立.若,都不是时，作=，=则=+.（1）当,不共线时，如
3、图1所示，则即（2）当,共线时，若,同向，如图2所示，即若,反向，如图3所示，5则综上可知：该命题的证明方法有多种，但应用向量工具从三角形三边关系上更能看出问题的实质.因此，在教学时应有意识的引导学生从数形结合的角度进行思考，避免单一的思维渠道.（二）几何代数化通过对向量的学习可知，向量有一整套的符号和运算系统，对大量的几何问题，不但可以用向量的语言加以叙述，而且完全可以借助向量的方法予以证明，从而把抽象的逻辑推理转化为具体的向量运算.例2、求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.证明：如图4所示，在中，，是边上的中点，
4、由向量加法的平行四边形法则，知，，，，.向量作为联系代数与几何图形的最佳桥梁，它可以使图形量化，使图形间的关系代数化，让我们从复杂的图形分析中解脱出来，只需要研究这些图形存在的向量关系，就可以推导出最终的结论.例3、设抛物线的焦点为，经过点的直线交抛物线于、两点.点在抛物线的准线上，且//轴.求证：直线经过原点.（说明：由于高一学生已经学习过二次函数，因此2001年全国高考理科19题改变成上述形式后高一学生也能解决.）证明：如图5所示，设，，由题设可知，5故，.由三点共线，知//,,.且直线与直线有公共点，、、三点共线，即直
5、线经过原点.用向量方法去解传统的立体几何题也是有优势的，如2003年的高考立体几何题.普遍都认为较难，但如果用向量方法去解，就很简单了.例4、(2003年全国高考题)如图6,在直三棱柱中,底面是等腰直角三角形,,侧棱,分别是与的中点,点在平面上的射影是的重心.(1)求与平面所成的角的大小(结果用反三角函数值表示);(2)求点到平面的距离.分析:以为原点,分别为轴,建立空间直角坐标系,设5,则,从而,由得,即,.(1)设与平面所成的角,即与所成的角为,.(2)设点在平面上的射影为则即,,代入运算得或(舍去)从而5这个问题如果采
6、取点线面直接求解的办法,难度很大,这在当年的新旧教材的考试中明显反映出来.向量解决问题的直接好处体现得异常充分,学生比较容易找到落脚点,把空间的问题转化为代数问题,实际问题模型化,从向量的角度切入,可以有效地避开很多难点.向量集数与形于一身，既有代数的抽象性，又有几何的直观性，用它研究问题时可以实现形象思维和抽象思维的有机结合.在平面向量中体现出来的“数形结合”的思想方法，对优化学生的思维品质，培养和发展思维能力，发挥了巨大的作用.参考文献：①朱永广例谈数学类比能力的培养数学教学2004.9②张定强向量方法在研究几何问题中的
7、作用探析数学通报2004.9③徐树成几个著名定理的向量法证明数学通讯2004.115
