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1、（2003年教案）辨识与自适应第三章32第三章参数估计的改进算法§3—1 最小二乘方法的改进—辅助变量法（IV法InstrumentVariable）辅助变量法是在模型误差为相关噪声的情况下，通过引进辅助变量矩阵，对线性最小二乘估计的一种改进。一、参数的辅助变量估计考虑模型式（3-1-1）其中：当进行了k=1-n,2-n,..,0,1,2,…,N共计（N+n）次采样，得到N个方程：用矩阵表示成yN=FNq+eN式（3-1-2）其中eN=[e(1),….,e(N)]T最小二乘估计为：qLS=（FNTFN）-1FNTyN（2003年教案）辨识
2、与自适应第三章32设（FNTFN）满秩，将过程模型式（2-3-2）带入上式，得出：qLS=（FNTFN）-1FNT（FNq+eN）式（3-1-3）有：和令：Yjj=E[jkjkT]2n´2n式（3-1-4）和Yje=E[jke(k)]2n´1式（3-1-5）可以证明：当N®¥时式（3-1-6）式（3-1-7）依据Frechek定理：若随机序列xK¾®x，（2003年教案）辨识与自适应第三章32则f(xK)¾®f(x)故有：qLS¾®q+[Yjj]-1[Yje]式（3-1-8）如果：Yjj满秩，且Yje=0，则qLS¾®q为一致性无偏估计，
3、如Yje¹0，则qLS¾®q+Dq为有偏估计。分析Yje=E[jke(k)]jk=[-y(k-1),…,-y(k-n),u(k-1),…,u(k-n)]T,即Yje不仅依赖于e(k)，也依赖于e(k-1)、e(k-2)….，如果{e(k)}是白噪声，e(k)与e(k-1)、e(k-2)….不相关，则Yje=0，q¾®q如果{e(k)}是有色噪声,则Yje¹0，q¾®q+Dq问题：如何在有色噪声干扰条件下得到无偏估计？通过构造一个与FN相似，但是能满足以下关系的矩阵ZN´2n,使得当N¾®¥时能满足满秩式（3-1-9）式（3-1-10）则：
4、qIV=（ZNTFN）-1ZNTyN¾®q(无偏估计)其中：qIV——IV估计；ZN——IV矩阵。（2003年教案）辨识与自适应第三章32对应的关键在于如何具体构造出辅助变量矩阵ZN。人们已经得出几种不同的方案，要严格证明它们满足上述条件是很难的，但是在实际应用中已经取得很好的结果。方案之一是用qLS得出的模型的计算输出量代替F中的实测输出组成z和Z,即：zkT=[-y(k-1),..,-y(k-n),u(k-1),…,u(k-n)]式（3-1-11）其中：y(k)=zkTqLS式（3-1-12）对比：jkT=[-y(k-1),..,-y
5、(k-n),u(k-1),…,u(k-n)]二、IV法的计算步骤a)先用LS法估计出qLSb)由qLS用式（2-3-12）计算出{y(k)}k=1,2,…N组成矩阵ZNc)计算qIV=（ZNTFN）-1ZNTyN式（3-1-12）三、递推辅助变量算法（RIV法）RIV法是在IV法思路启发下得出的，它并不与IV法等价。RIV法由以下几个递推公式组成：（2003年教案）辨识与自适应第三章32qN+1=qN+KN+1(y(N+1)–jN+1TqN)式（3-1-13）式（3-1-14）式（3-1-15）jN+1T=[-y(N)，¼-y(N-n+1
6、),u(N)，¼,u(N-n+1)]zN+1T=[-y(N)，¼-y(N-n+1),u(N)，¼,u(N-n+1)]式（3-1-16）y(N)=zNTqN式（3-1-17）递推初值：q0=0；P0=106I;y(0)=y(-1)=…=y(1-n)=0四、仿真结果IV法与LS法的比较参数a1a2b1b1真值1.5-0.71.00.5LS法1.320-0.5311.0210.690IV法1.496-0.6971.0170.504（2003年教案）辨识与自适应第三章32RIV法与RLS法的比较参数真值a1=0.6A2=-0.7b1=1.0B2=
7、0.5n=500(0.6682)0.6598(-0.7144)-0.7379(1.0387)1.0298(0.3679)0.4423n=1000(0.6652)0.6237(-0.7214)-0.7247(1.0594)0.9855(0.3691)0.5049n=1500(0.6700)0.6156(-0.7291)-0.7129(1.0556)1.0176(0.3706)0.4953n=2000(0.6840)0.6013(-0.7297)-0.7111(1.0568)1.0067(0.2762)0.5122注：()中为RLS法的估计结
8、果五、IV法评价a)IV法计算量比线性最小二乘估计增加不多，而在相关噪声情况下估计精度有明显改善。b)IV法与RIV法思路相似，但不等价。c)RIV法计算量与RLS法接近，在相关噪声情况下估计
