使用变分法理由

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1、在热力学系使用变分法的理由及结果——“摩尔熵分布函数”的导出朱顶余江苏省涟水县保滩中学(223405),E-mail:h.l.zdy@163.com摘要：当热力学体系达到平衡态时，具有“无耗散”（即“无熵产”）的特点。本文就依据这一“平衡态原理”（“熵增原理”）使用了“变分法”进行“泛函分析”；导出了“欧勒方程”的解──“比熵平衡方程”，还给出了“即使在外场中处于密度不均匀的无‘熵产’状态，类似于最大熵状态时，体系仍然保持着均匀的‘比熵’分布”这个新结果。同时，这都因为大胆地在“热统”领域引进了“间接变分法”的结果，这增强了对体系“熵函数”的探讨能力；最后还

2、作了一些展望。关键词：平衡态原理、无熵产、‘比熵’平衡规律、均熵方程中图分类号：O414文献标识码：A1．引言若有一绝热封闭的刚性壁容器，内盛有一摩尔单原子理想气体，在桌面上静置了一百年；试问该容器内不同高度上的气体密度、压力、温度这三个热力学参量沿着高度的分布情况究竟是怎样的？依据经验,假如容器处在无外力场中且保持惯性运动状态,则容器内气体必将有，，,这只是经验认识；对此，笔者一直心存余悸，在惯性空间，究竟当热力学体系达到平衡态时，虽然可以肯定体系的熵达到了极大值，但体系的密度、温度、压力是否真的会均匀分布，这决不能满足于主观臆测，必须建立相应的数学模型进

3、严格的规范的推导求证。波尔兹曼早就用统计力学的方法推导出，无论体系是否处在外力场中，体系的平衡态都将保持温度均匀分布的状态；所以教科书将温度均匀分布作为物系达到平衡态的标志。笔者试图另辟蹊径，依据“最大熵原理”借用“（间接）变分法”（破解相应的“欧勒方程”）首先解出惯性空间的热力学平衡态体系的参量分布函数，接着再导出当存在外场（即当g≠0）时，热力学平衡态体系的参量分布函数……2．对热力学体系尝试“变分法”的理由其实上面的问题可以归结为，当体系的“熵产生率”等于零或曰热孤立体系的总熵不再增长时（最大熵原理），惯性空间中的热力学体系各点介质的‘比熵’（即某小局

4、域的熵与该小局域所含介质的摩尔数的比值）将保持什么样的关系问题；或曰热力学参量的分布函数将是怎样的？这个问题一直困扰着笔者……6久思不得其解；思来想去一筹莫展（无从下手）。经过长期的沉思……笔者突然联想到人们在寻求极限条件下的尝试函数，常常运用“变分法”进行泛函分析……譬如在力学中为了寻求最快捷的下滑轨道方程（函数），使用了“间接变分法”，求解“欧勒方程”；也就是说欲使某一滑块从某一点下滑到另一点需要的时间最短，其路径（轨迹曲线）的方程（函数）是怎样的（即“捷线问题”）？“捷线问题”与本文的问题颇为相似。本文的问题就是指一摩尔理想气体在特定的绝热封闭的刚性容

5、器中经过长期静置，试问其最终死寂（平静）状态时的密度、温度、压力的分布函数究竟是怎样的？在物体下滑轨道例子中要求其下滑时间最短的那一条轨道，类似地在此热力学死寂态例子中是要求体系的总熵不再增加（熵值最大）的那个状态，而热力学体系的行为必然遭受“最大熵原理”（熵增原理）的强行支配；这就是本课题使用“变分法”进行泛函分析的逻辑基础。其程序是将体系的总熵（体系各局域的熵的积分）作为“泛函”，接着讨论该泛函的变分问题（密度、温度分布函数作微小的变动，泛函即体系的总熵也随之作微小的变动，其比值的极限趋于零），从而获得“欧勒方程”。最后从“欧勒方程”（微分方程）解出热力

6、学体系达到无熵增状态（平衡态）时的密度、温度分布函数；这就是运用变分法寻求热力学死寂态参量分布函数的理由和思路（基本思想）下面就以理想气体为例，本文试从“间接变分法”中的“欧勒方程”[2]首先解出惯性空间热力学体系达到平衡态时必然服从的热力学平衡条件，最后依据无论有无外场，体系都终将死寂（达到无熵增）状态的“平衡态原理”，进一步导出：在重力场中死寂态的热力学体系的参量分布函数。2.1理想气体系统为了简便，首先考虑静置于匀强力场中的绝热刚性壁柱形封闭容器所盛的摩尔理想气体系统，其中封闭容器内的摩尔数，可用下式定积分表示式中为体系所拥有介质的摩尔数,为柱形容器的

7、底面积,为柱高方向的变量,为气体数密度沿着高度的分度函数,为容器的顶部高度。在这里体系所拥有的内能（对于理想气体系统）即为热能是否一直为定值呢？答案是否定的！因为体系在自发地趋近于无“熵产”（死寂状态）的过程中，不免因其密度分布函数的变化而改变体系质心的高度，即改变了体系在外场中的势能，同时由于粘滞性耗散（生热）；故体系的热能在死寂之前并不是守恒的常数；但这并不能阻止“有限‘源’体系”归宿于死寂状态的进程，因为体系在恒定外场中的势能不可能无休止地改变下去；再加上粘滞性耗散，体系总是要死寂的（即必将终止一切形式的宏观运动），即该体系必将达到无“熵产”的死寂状态

8、；即处在外场中的绝热（刚性壁）封闭的久置着的热力学简