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1、第五章代数插值在生产实践和科学研究所遇到的大量函数中，相当一部分是通过测量或实验得到的。虽然其函数关系y=f(x)在某个区间［a，b］上是客观存在的，但是却不知道具体的解析表达式，只能通过观察、测量或实验得到函数在区间［a，b］上一些离散点上的函数值、导数值等，因此，希望对这样的函数用一个比较简单的函数表达式来近似地给出整体上的描述。还有些函数，虽然有明确的解析表达式，但却过于复杂而不便于进行理论分析和数值计算，同样希望构造一个既能反映函数的特性又便于计算的简单函数，近似代替原来的函数。插值法就是寻求近似函数的方法之一。在用插值法寻求近似函数的
2、过程中，根据所讨论问题的特点，对简单函数的类型可有不同的选取，如多项式、有理式、三角函数等，其中多项式结构简单，并有良好的性质，便于数值计算和理论分析，因此被广泛采用。本章主要介绍多项式插值、分段多项式插值和样条插值.第一节插值多项式的存在唯一性5.1.1插值问题设函数y=f(x)在区间［a,b］上有定义且已知函数在区间［a,b］上n+1个互异点上的函数值，若存在一个简单函数y=p(x)，使其经过y=f(x)上的这n+1个已知点(),(),…，()（图5-1），即p()=,i=0,1,…,n那么，函数p(x)称为插值函数，点称为插
3、节点，点(),(),…，()称为插值点，包含插值节点的区间［a,b］称为插值区间,求p(x)的方法称为插值法，f(x)称为被插函数。若p(x)是次数不超过n的多项式,用Pn(x)表示，即则称为n次插值多项式，相应的插值法称为多项式插值；若P(x)为分段多项式，称为分段插值，多项式插值和分段插值称为代数插值。525-15.1.2 插值多项式的存在唯一性定理设节点互异，则在次数不超过n的多项式集合中，满足条件（5.1.1）的插值多项式存在且唯一。证将代入式（1）得这是关于的n+1元线性方程组，其系数行列式V()=是范得蒙(Van
4、dermonde)行列式，故V()=由于互异，所有因子≠0(i≠j)，于是V()≠0再由克莱姆法则，方程组（2）存在唯一的一组解,即满足条件（1）的插值多项式存在且唯一。第二节拉格朗日插值多项式525.2.1基函数由上一节的证明可以看到，要求插值多项式，可以通过求方程组（5.1.22）的解得到，但这样不但计算复杂，且难于得到的简单表达式。考虑简单的插值问题：设函数在区间［a，b］上n＋1个互异节点上的函数值为j=0,1,…,n求插值多项式，满足条件j=0,1,…n,i=0,1,…,n由上式知，是的根，且∈，可令再由得于是n
5、+1个n次多项式称为以为节点的n次插值基函数。n=1时的一次基函数为（图5-2）：.n=2时的二次基函数为（图5-3）：525-25-35.2.2拉格朗日插值多项式现在考虑一般的插值问题：设函数在区间［a,b］上n+1个互异节点上的函数值分别为，求n次插值多项式，满足条件j=0,1,…n令（5.2.3）其中为以为节点的n次插值基函数，则是一次数不超过n的多项式，且满足，j=0，1，…，n52再由插值多项式的唯一性，得式（5.2.3）表示的插值多项式称为拉格朗日（Lagrange）插值多项式。特别地，n=1时称为线性插值（图5-4（
6、a）），n=2时称为抛物插值或二次插值（图5-4（b））。值得注意的是，插值基函数仅由插值节点确定，与被插函数f(x)无关。因此，若以为插值节点对函数f(x)≡1作插值多项式，则由式(5.2.3)立即得到基函数的一个性质≡1还应注意，对于插值节点，只要求它们互异，与大小次序无关。5-4例1：已知y=，=4，=9，用线性插值求的近似值。解：=2，=3，基函数分别为插值多项式为所以52例2：求过点(-1，-2)，(1，0)，(3，-6)，(4，3)的三次插值多项式。解：以＝-1，＝1，＝3，＝4为节点的基函数分别为插值多项式为5
7、.2.3插值余项插值多项式的余项(x)=f(x)-(x)，也就是插值的截断误差或方法误差。关于余项有如下的余项定理：定理：设被插函数f(x)在闭区间［a，b］上n阶导数连续，在开区间(a,b)内存在，是［a，b］上n+1个互异节点，记则插值多项式(x)的余项为（5.2.4）证明：由插值条件和的定义，当x=时式（5.2.4）显然成立，并且有k=0,1,…，n（5.2.5）52这表明都是函数(x)的零点，从而(x)可表示为(x)=f(x)-(x)=K(x)(5.2.6)其中K(x)是待定函数。对于任意固定的x［a,b］，x≠(k=
8、0,1,…，n)，构造自变量t的辅助函数(5.2.7)由式（5.2.5）和式（5.2.6）可知和x是(t
