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1、第4章插值与拟合1引言1---插值与拟合在科学研究和工程实践中应用广泛如:1)已知物性手册中由特定点处的值求取任意点处的值，可用插值法2)由实验中的离散数据点确定研究体系的模型，可拟合建立近似的函数关系式。2区别：运算过程上的区别：拟合：是将数据点用最恰当的曲线描述出来，以反映问题的规律，是特殊到一般的过程。插值：是在知道曲线的形状后得出某些具体点的性质的过程,是从一般到特殊。求解误差上的区别：拟合：考虑观察值的误差（误差不可避免时）。以偏差的某种最小为拟合标准插值：在观测点处无误差如最小二乘法：联系：二者都是函数逼近的主要方法引言2---
2、插值和拟合的联系与区别3§4.1函数插值在化工领域中，通过实验可获得有限个离散点的数据表（如表4-1所示）。这种用表格形式给出的函数通常称为列表函数表4-1列表函数0导入4如果可以寻找出与已测得的实验数据相适应的近似解析函数式，则可根据近似解析表达式求出未列点的函数值。列表函数虽然可以对实验数据点的函数变化规律有一定的反映，但它不能给出数据点外的函数值，因此使用起来往往很不方便。50.1函数插值的定义图4－1n次插值多项式的几何表示插值就是定义一个在特定点取给定值的函数的过程。当选用不同的插值函数时，相应的得到不同的插值方法。60.2代数多
3、项式插值法为给实验数据构造相适应的近似函数表达式，最常用的是代数多项式插值法。代数多项式插值法的基本思想:设法构造某个简单函数（是代数多项式形式，称插值函数）作为的近似表达式，然后计算未列点的自变量的函数值值作为的近似值。7对于多项式插值，我们主要讨论:插值多项式的常用构造方法有哪些？根据化工计算的要求，本节着重介绍拉格朗日（Lagrange）多项式插值法、分段线性插值法和三次样条插值法。8§4.1.1拉格朗日多项式插值法1插值多项式模型已知函数y=f(x)在n个点上的值f(),求一个项数低于n的插值多项式（k=1,2,…n）表示插值多项式
4、的最紧凑的方式是拉格朗日（Lagrange）形式（4－1）9拉格朗日插值法求多项式模型为：（4－2）10（4－3）（4－4）11Lagrange插值多项式的优点在于不要求数据点是等间隔的，其缺点是数据点数不宜过大，通常不超过7个，否则计算工作量大且误差大，计算不稳定。12例1求二次插值多项式。解:按拉格朗日方法，有：132拉格朗日多项式插值法的Matlab实现对于拉格朗日多项式插值法，Matlab中没有专用指令，可根据拉格朗日多项式插值法的数学公式来编程实现。程序如下:%lagrange.mfunctiony=lagrange(x0,y0,
5、x)n=length(x0);m=length(x);fori=1:mz=x(i)；s=0;fork=1:nL=1;forj=1:nifj~=kL=L*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));endends=s+L*y0(k);endy(i)=s;end程序中主要变量说明：n－已知点的数目；m－未知点的数目；x0,y0－已知数据点值；x,y－插值数据点值；14例4.1：从手册中查到水在不同温度（T）时的导热系数（）的数据如表4-2所示。表4-2水在不同温度时的导热系数试用拉格朗日多项式插值法分别计算水在80C、250C、560C、7
6、30C、960C时热导率数值。T/0C/[W/(m·K)]T/0C/[W/(m·K)]00.553600.659200.599800.675400.6341000.68315解：Matlab计算程序如下：﹥﹥T0=[0,20,40,60,80,100];K0=[0.553,0.599,0.634,0.659,0.675,0.683];T=[8,25,56,73,96];K=lagrange(T0,K0,T);[T;K];执行结果：ans=8.000025.000056.000073.000096.00000.57280.60870.6548
7、0.67040.6820这里:T0和K0分别表示样本点温度和导热系数，T和K分别表示插值点温度和导热系数。16“龙格现象”－－拉格朗日高次插值多项式的缺陷拉格朗日插值多项式次数越高，利用被插函数节点信息越多，理应误差越小。可事实并非如此，龙格（Runge）就给出了一个例子：设被插函数:取等矩节点，作拉格朗日插值多项式。当时，函数及插值多项式的图形如4-2所示。§4.1.2分段线性插值法17-11x0.51.01.5y0图4-2“龙格现象”-0.20.2由图可见，在区间[-0.2，0.2]上比较接近,但在区间[-1，1]两端则误差很大。当n继
8、续增大时，部分区间上插值多项式误差偏大的现象更严重。这种现象称“龙格现象”。18原因：当n很大时，数据的误差可能对插值多项式计算结果带来很大误差，引起“龙格现象”，也可以说是拉格
