第十一章 连续统不可数性

《第十一章 连续统不可数性》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第十一章连续统的不可数性19世纪的数学　　每一个世纪都以一种奇特的方式，显示不同的数学重点和数学思维方向。18世纪显然是“欧拉世纪”，因为他在学术领域没有任何对手，始终居于统治地位，并为后代留下了珍贵的数学遗产。相比之下，19世纪虽然没有一位特别出类拔萃的数学家，但却有幸拥有许多优秀数学家，他们将数学疆界推向新的令人意想不到的方向。　　如果说19世纪不属于某一位数学家，那么，它确实呈现出几个重要的主旋律。19世纪是抽象与广义化的世纪，是对数学的逻辑基础进行深入分析的世纪，这种逻辑基础曾构成牛顿、莱布尼兹和欧拉的理论基础。数学不再受“物理实在性”的局限而变得越来越独立，而在

2、此之前，这种“物理实在性”始终明显地将数学束缚于自然科学。　　这种脱离实在世界的倾向可以说是以19世纪前30年出现的非欧几何作为其独立宣言的。我们在第二章的后记中曾说过，当欧几里得的平行线公设被舍弃而代之以另一命题的时候，出现了一个“奇怪的新世界”。突然间，通过直线外一点，至少可以画两条直线与之平行；相似三角形变成了全等；而三角形的内角和也不再等于180°。然而，对于非欧几何中所有这些似乎矛盾的性质，没有一个人能够从中找出逻辑矛盾。　　欧金尼奥·贝尔特拉米证明了非欧几何与欧氏几何一样，在逻辑上是成立的。从而在这两种几何之间架起了一座桥梁。我们可以设想，比方说，数学家甲致力

3、于研究欧氏几何，而数学家乙则专攻非欧几何。双方的工作具有等效的逻辑正确性。然而“实在的世界”却不可能既是欧氏几何的又是非欧几何的；其中的一位数学家必定要付出终生的努力去探索一种并非“实在的”体系，那么，他或她是否在虚掷年华呢？19世纪，数学家越来越感到对这个问题的答案应该是否定的。当然，物质世界是否如欧几里得所述，这个问题应留待物理学家去探讨。这是一个经验性问题，是通过实验与严格的观测来确定的，但却与这两种几何体系的逻辑发展无关。对于一个热中非欧几何优美定理的数学家来说，美就足够了。无需物理学家去告诉数学家哪一种几何是“实在”的，因为在逻辑王国里，两者都是正确的。所以，几

4、何学的这一根本问题带有一种解放的性质，将数学从只依赖于实验室的实验结果中解放出来。在这个意义上，我们看到，这与当时美术摆脱对现实的依赖的情形十分相似。19世纪初期，画家的画布还像以往一样，仅仅充当了一扇窗户，人们通过这扇窗户，可以看到有趣的人和事。当然，画家可以自由设定基调，选择颜色，确定明暗，强调某一局部而弱化其他部分；但无论如何，画家的作品就像一幅屏幕，让大家看到瞬间静止的事物。　　19世纪后半期，情况发生了明显的变化。在一些美术大师如保罗·塞尚、保罗·高庚和樊尚·凡高的影响下，美术作品获得了自己的生命。画家可以视画布为发挥自己绘画技能的二维战场。例如，塞尚认为，可以

5、任意将静物苹果与梨变形，以增强整体效果。他批评伟大的印象派画家克劳德·莫奈只有“一只眼睛”，他的意思是说，画家的艺术不仅仅限于记录眼睛所看到的事物。　　总之，美术宣告了从视觉现实中的独立，同时，数学也显示出其脱离物质世界的倾向。这种并行的情况很有趣，以塞尚、高庚和凡高为代表的绘画，连同以高斯、鲍耶和罗巴切夫斯基为代表的数学，其哲学内涵意义深远，影响持久，至今不衰。　　当然，我们也必须看到，这些发展并非得到了人们的一致认可。20世纪末，任何一个到美术馆参观的人，随时都能听到种种议论，人们对视觉艺术的现状，对在大幅画布上毫无意义地胡乱涂抹，对那些自称并不反映现实的作品（这些作

6、品常常争议很大，而又十分昂贵）颇有微词。艺术家的赞助人则常常抱怨当代艺术家的解放走得太远了。他们渴望看到他们所熟悉的肖像画和令人赏心悦目的风景画。　　在这一方面，数学与美术也十分相似。在现代数学界中也有一种对当今数学状况不满的情绪。20世纪的数学家不但偏好非欧几何革命所带来的思想解放，而且还推动数学越来越远地脱离与实在世界的联系，直到把他们的逻辑结构变得抽象而神秘，以致使物理学家和工程师都如堕烟海，不知其所云。在许多人看来，这种趋势已把数学变成了一种毫无意义的符号游戏。数学史家莫里斯·克兰对这种倾向提出了最畅言无忌的批评，他写道：　　“随着深奥晦涩的原理被系统地阐述，已远

7、离了最初的应用领域，而专注于抽象的形式。通过引入上百个分支概念，数学雨后春笋般地扩张为琐细而庞杂的一个个小门类，它们相互之间很少联系，且与最初的应用领域很少关联。”　　克兰认为，数学在其争取独立于物理学的来之不易的自由的过程中，走得太远了，以致成为枯燥而任意的纯粹形式主义体系。对他的严厉批评，数学界确应认真考虑。　　作为对克兰批评的回答，令人感兴趣的是，数学理论无论有多么抽象，却常常出人意料地应用于非常确实的实际问题。甚至将数学与实在断然分开的革命的非欧几何，也可以在现代物理书籍中找到它的足迹，现代相对论宇宙学就在很大程度上依