连续统假设的否定

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1、连续统假设的否定（一）陈守仁*摘要：本文用否定连续统假设某一个推论的方法来否定连续统假设。关键词：连续统假设，不可数集，凝聚点，有界闭集，一致连续。 一、       连续统假设的推论3[1]在(-∞,+∞)的一个不可数子集E上，存在一个连续函数f(x)，使得它在E的任一个不可数子集上都不是一致连续的。下面我们证明此推论不成立。 二、       证明过程引理一、任何不可数集E中，都至少包含一个凝聚点M，且M∈E。证：分两种情况讨论：（一）当E为有界不可数集时=假设集合E不含凝聚点，下面再分三种情况探讨：（1

2、）   E中只含一些孤立点，则E为至多可数集，即E≤a[2]。=（2）   E中只含一般的聚点，设M1为E中一聚点，则以M1为中心的任一邻域内都含有E中可数无限个点，集合E必包含于以M1为中心的某一邻域内（因E有界），此邻域包含E中可数个点，且包含E中全部的点，故E为可数集。即E=a。=====（3）   E中既有孤立点，也有一般的聚点，即E=E1+E2。其中E1中只含孤立点，E2中只含一般的聚点。所以…….E=E1+E2≤E1+E2=a+a=a。从以上三种情况都可证出E≤a，和E=C的假设（因假设E为不可数

3、集）矛盾，故E中至少含有一个凝聚点M。下面再分两种情况讨论：(a)   若M为E的内点，则M∈E。(b)  若M为E的边界点，则M可能属于E，也可能不属于E。当M∈E时，问题已解决；当M∉E时，因M为E的凝聚点，则以M为中心的任一邻域δ内，都含有E中不可数的点。用Eδ表示δ邻域中所有E中点的集合，则Eδ为不可数集。因为M∉E，故M∉Eδ。设M1为Eδ中任一点，因M∉Eδ，而M1∈Eδ，所以M1≠M。现在以M1为中心，δ长为半径，做一个邻域δ1，则Eδ就被δ1覆盖，于是δ1中也含有E中不可数的点。因为δ邻域的长

4、是任意的，而δ1比δ长一倍，故δ1邻域的长也是任意的，这样，以M1为中心的任一δ1邻域内，都含有E中不可数的点，所以M1为E的凝聚点，且M1∈Eδ⊂E。这就证明了在任意有界不可数集E中，皆至少含有一个属于E的E的凝聚点。（二）当E为无界不可数集时当E为无界不可数集时，E中至少有一个有界不可数子集，否则若E中任一有界子集皆为至多可数集（注解1）,则集合E就成为可数个可数集的并集，仍为可数集，这就和E为不可数集的假设矛盾。假设集合E中有一个有界不可数子集E1，根据（一）中所证，E1中至少含有一个凝聚点M1，且M1

5、∈E1。则以M1为中心的任一邻域内，都含有E1中不可数的点，因E1⊂E，故以M1为中心的任一邻域内，都含有E中不可数的点，即M1也是E的凝聚点，且M1∈E。这就证明了无界不可数集也含有属于它的凝聚点。综上所述，任何不可数集E中，都至少含有一个凝聚点M，且M∈E，引理一得证。引理二、设E1为不可数集E中所有凝聚点的集合，则E1为不可数集。证：由于E1为E中所有凝聚点的集合，则集合（E-E1）中就不含凝聚点，从引理一（一）的证明过程中就可看出E-E1≤a。如E1不是不可数集，E1必为至多可数集（注解1）,则E1≤

6、a，这时E=E1+(E-E1)≤E1+E-E1≤a+a=a，即E为至多可数集，和E为不可数集的假设矛盾，所以E1为不可数集，引理二得证。引理三、设E为不可数集，且E中所有的点都是E中的凝聚点，则E中任意一个由凝聚点组成的有界子集E1也是不可数集（E未必有界）。证：由于E1⊂E，设M1为E1中任一点，则M1∈E1⊂E，根据假设，E1中所有的点都是E中的凝聚点，M1也不例外，则以M1为中心的任一δ邻域内，都含有E中不可数的点。我们这样选取δ邻域：（一）、M1为E1的内点，选取时把δ邻域的两个端点都选在E1的边界内

7、，并称新选取的邻域为δ1。（二）、M1为E1的边界点（M1∈E1），选取时把δ邻域的一个端点落在E1的边界内，称δ邻域在E1内部的一半为δ1，由于M1为E的凝聚点，故不论M1为E1的内点或边界点，δ1邻域内都含有E中不可数的点，即δ1=c。又因为E为不可数集，所以E=c；又由于δ1⊂E1⊂E，因此就得出=====c=δ1≤E1≤E=c……(1)==否则，若（1）式不成立，就有δ1＞E1…….(2)==或有E1＞E……..(3)==但（2）、（3）两式皆和δ1⊂E1⊂E矛盾，因此都不能成立。最后由（1）式得出c

8、≤E1≤c，即E1=c，所以E1为不可数集，引理三得证。引理四、在有界闭集E上连续的函数f(x)在E上一致连续。证：设x0为E中任一点，x为E中异于x0任一点（即x≠x0），因假设f(x)在E上连续，故f(x)在x0也必连续（因x0∈E）。因此对于任意给定的ε＞0，必存在一个δ＞0，当

9、x-x0

10、＜δ时，就有

11、f(x)-f(x0)

12、＜ε成立。我们假设f(x)在E上不一致连续，则对于某一个ε0＞0，不