三角函数的文献综述

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1、16世纪，丹麦数学家芬克(T.Fineke，1561一1656)将纵影称为tangens，这便是今天英文中tangeni一词的由来。冈特首次将横影称为cotangens，这便是近日英文中cotangent一词的由来。正割和余割首次出现于10世纪阿拉伯天文学家阿布·韦发(Abu’l一Wefa，940一998)的著作中，但并无具体名称。阿布·韦发第一个使用了所有六种三角函数。在欧洲，“seeant”一词最早为芬克所用;16世纪德国数学家毕蒂克斯(B.Pitiseus，1561一1613)则同时使用了“secant”和“cosecant”之名。德

2、国天文学家雷提库斯(GJ.灿eticus，1514一1576)首次将三角函数看作角(而非弧)的函数，并首次用比值来定义正切和余切函数，尽管他仍用直角三角形三边来命名，将正弦、余弦、正割和余割分别称为高(perPendiculum)、底边(占asis)和斜边“公夕口tenosa)。L3研究问题从研究背景上看，不同版本的课程标准对三角函数内容的要求各不相同，这也导致了教材对三角函数内容的不同定义。教学过程中，老师对课程标准和教材的不同理解和设计必然不同，有的老师以自己的方式去解释初中和高中三角函数概念的不同。比如在教学实践中，有老师认为:“高中

3、三角函数概念是对初中锐角三角函数概念的扩展，新的概念既要与原概念吻合，又要有合理性”。但是数学史的实际发展过程却不是如此锐角三角函数的目的是解三角形和三角计算，而任意角的三角函数的研究是与圆周运动有直接关系，两者并不是特殊与一般的关系。但是无论怎样，初中所学的锐角三角函数对高中学生学习三角函数有很大的影响，学生到底是怎样理解三角函数的，是值得研究的问题。对于三角函数的教学，全国高中课程标准要求学生能够利用单位圆进一步理解任意角的三角函数，能够借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式。而上海课程标准中只要求学生能够利用任意角的三角比定义和单位圆

4、的性质等，研究诱导公式，再研究两角和与差的余弦、正弦、正切公式，对单位圆要求不高。中等职业学校课程标准中对单位圆没有要求。单位圆、三角函数线是三角函数发展过程中必需的内容，但是却成了学生学习的难点。三角函数的教学过程中有很多问题需要联系三角函数的历史发展过程来解16世纪以前，天文学家所用的三角函数都不过是一条线段而己，表1一1给出了六种三角函数的起源(Smith，1925)。早期天文学家所关心的是圆弧所对的弦长。显然，弦长与圆的半径有关。因此，将半径分割成若干等分(如60等分)，每一份用来作为弦长的单位。公元前2世纪，古希腊天文学家伊巴谷(

5、Hipparchus)制作了历史上第一张弦表，可惜失传了。公元2世纪，古希腊天文学家托勒密(CRolemy，85?一165?)制作了一张从1/2度到180度、每隔1/2度的所有弧的弦表。公元6世纪，印度天文学家阿耶波多(Aryabhata，476一550)制作了每隔3“45’的半弦表，阿耶波多称半弦为jy反。办反这个名称后来被阿拉伯人音译为j动a2文伙燎述纵观中外数学文献，研究三角函数内容的文章很多，大多集中在解题策略与方法上。但是关于学生对此概念理解情况的研究文献较少。2.1任恋角的三角西获国外的相关研究认为三角函数在高中课程中是非常重要

6、的课程，学好三角函数是学习物理学、建筑学、测量学、工程学等科目的基础。而且，三角函数是与代数、几何、图形推理相关联的最早的数学专题之一。三角函数是学习微积分前的必学内容。遗憾的是，Blackett和Tan认为在学习三角函数的最初阶段充满不愉快和困难。Breidenbaeh、nubinsky、Hawk和Niehols认为三角函数的对应关系不能用包含算术程序步骤的代数公式表示，学生理解三角函数的对应关系有很大困难，学生不能把这种对应关系看作函数关系。学生需要有关角的图表去找到对应的数值，还要熟练这些三角符号，许多高中、大学生不习惯于这种思维。(

7、W亡ber，2005)尽管学习三角函数有这么多的困难，但是与之有关的教育研究文献很少。Blackett和Tan曾经作过以下研究:他们对两组学生进行测试，一组学生参与到试验性的学习过程中，有计算器，允许学生探究数字、几何的关系，以一种可以交流的方式进行。另一组学生在学校里，老师以一般传统的形式教学。通过同等水平的后测后发现试验组学生胜过控制组学生。Kendal和stacey作了更大范围的研究，他们通过后测发现学生在直角三角形背景下学习三角函数要比在单位圆的背景下学习的效果好。(Weber，2005)NCTM数学教育专家一致认为数学课程的目标不

8、仅仅是让学生在数学练习和考试中记住步骤、获取正确的解题方法，更重要的是学生要理解所学。特别是学生要能够解释为什么用这个步骤方法是准确合适的，并且能够证明一些数学概念所具有的性质。