2016-2017年高中数学人教a版选修4-1学业分层测评6圆周角定理word版含解析

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1、学业分层测评(六)(建议用时:45分钟)[学业达标]一、选择题1.如图2112所示,若圆内接四边形的对角线相交于E,则图中相似三角形有(  )图2112A.1对      B.2对C.3对D.4对【解析】 由推论知:∠ADB=∠ACB,∠ABD=∠ACD,∠BAC=∠BDC,∠CAD=∠CBD,∴△AEB∽△DEC,△AED∽△BEC.【答案】 B2.如图2113所示,圆O上一点C在直径AB上的射影为D,CD=4,BD=8,则圆O的半径等于(  )图2113A.6B.8C.4D.5【解析】 ∵AB为直径,∴∠ACB=90°.又∵CD⊥AB,由射影

2、定理可知,CD2=AD·BD,∴42=8AD,∴AD=2,∴AB=BD+AD=8+2=10,∴圆O的半径为5.【答案】 D3.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AC=2,则此三角形外接圆半径为(  )【导学号:07370031】A.B.2C.2D.4【解析】 由推论2知AB为Rt△ABC的外接圆的直径,又AB==4,故外接圆半径r=AB=2.【答案】 B4.如图2114所示,等腰△ABC内接于⊙O,AB=AC,∠A=40°,D是的中点,E是的中点,分别连接BD,DE,BE,则△BDE的三内角的度数分别是(  )图2114A.50°,3

3、0°,100°B.55°,20°,105°C.60°,10°,110°D.40°,20°,120°【解析】 如图所示,连接AD.∵AB=AC,D是的中点,∴AD过圆心O.∵∠A=40°,∴∠BED=∠BAD=20°,∠CBD=∠CAD=20°.∵E是的中点,∴∠CBE=∠CBA=35°,∴∠EBD=∠CBE+∠CBD=55°,∴∠BDE=180°-20°-55°=105°,故选B.【答案】 B5.如图2115,点A,B,C是圆O上的点,且AB=4,∠ACB=30°,则圆O的面积等于(  )图2115A.4πB.8πC.12πD.16π【解析】 连

4、接OA,OB.∵∠ACB=30°,∴∠AOB=60°.又∵OA=OB,∴△AOB为等边三角形.又AB=4,∴OA=OB=4,∴S⊙O=π·42=16π.【答案】 D二、填空题6.如图2116,已知Rt△ABC的两条直角边AC,BC的长分别为3cm,4cm,以AC为直径的圆与AB交于点D,则=________.图2116【解析】 连接CD,∵AC是⊙O的直径,∴∠CDA=90°.由射影定理得BC2=BD·AB,AC2=AD·AB,∴=,即=.【答案】 7.(2016·天津高考)如图2117,AB是圆的直径,弦CD与AB相交于点E,BE=2AE=2,

5、BD=ED,则线段CE的长为________.图2117【解析】 如图,设圆心为O,连接OD,则OB=OD.因为AB是圆的直径,BE=2AE=2,所以AE=1,OB=.又BD=ED,∠B为△BOD与△BDE的公共底角,所以△BOD∽△BDE,所以=,所以BD2=BO·BE=3,所以BD=DE=.因为AE·BE=CE·DE,所以CE==.【答案】 8.如图2118,AB为⊙O的直径,弦AC,BD交于点P,若AB=3,CD=1,则sin∠APD=__________.图2118【解析】 由于AB为⊙O的直径,则∠ADP=90°,所以△APD是直角三角

6、形,则sin∠APD=,cos∠APD=,由题意知,∠DCP=∠ABP,∠CDP=∠BAP,所以△PCD∽△PBA.所以=,又AB=3,CD=1,则=.∴cos∠APD=.又∵sin2∠APD+cos2∠APD=1,∴sin∠APD=.【答案】 三、解答题9.如图2119所示,⊙O中和的中点分别为点E和点F,直线EF交AC于点P,交AB于点Q.求证:△APQ为等腰三角形.图2119【证明】 连接AF,AE.∵E是的中点,即=,∴∠AFP=∠EAQ,同理∠FAP=∠AEQ.又∵∠AQP=∠EAQ+∠AEQ,∠APQ=∠AFP+∠FAP,∴∠AQP=

7、∠APQ,即△APQ为等腰三角形.10.如图2120(1)所示,在圆内接△ABC中,AB=AC,D是BC边上的一点,E是直线AD和△ABC外接圆的交点.图2120(1)求证:AB2=AD·AE;(2)如图2120(2)所示,当D为BC延长线上的一点时,第(1)题的结论成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.【解】 (1)证明:如图(3),连接BE.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵∠ACB=∠AEB,∴∠ABC=∠AEB.又∠BAD=∠EAB,∴△ABD∽△AEB,∴AB∶AE=AD∶AB,即AB2=AD·AE.(2)如图(4),连接B

8、E,结论仍然成立,证法同(1).[能力提升]1.如图2121,已知AB是半圆O的直径,弦AD,BC相交于点P,那么等于(  )【导学号:

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