2016-2017学年高中数学人教a版选修4-1学业分层测评9弦切角的性质word版含解析

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1、学业分层测评(九)(建议用时:45分钟)[学业达标]一、选择题1.如图2412所示,AB是⊙O的直径,MN与⊙O切于点C,AC=BC,则sin∠MCA=(  )图2412A.   B.   C.   D.【解析】 由弦切角定理,得∠MCA=∠ABC.∵sin∠ABC====,故选D.【答案】 D2.如图2413,在圆的内接四边形ABCD中,AC平分∠BAD,EF切⊙O于C点,那么图中与∠DCF相等的角的个数是(  )图2413A.4  B.5C.6D.7【解析】 ∠DCF=∠DAC,∠DCF=∠BAC,∠DCF=∠BCE,∠DCF=∠BDC,∠DCF=∠DBC.【答案】

2、 B3.如图2414所示,AB是⊙O的直径,EF切⊙O于C,AD⊥EF于D,AD=2,AB=6,则AC的长为(  )图2414A.2B.3C.2D.4【解析】 连接BC.∵AB是⊙O的直径,∴AC⊥BC,由弦切角定理可知,∠ACD=∠ABC,∴△ABC∽△ACD,∴=,∴AC2=AB·AD=6×2=12,∴AC=2,故选C.【答案】 C4.如图2415,PC与⊙O相切于C点,割线PAB过圆心O,∠P=40°,则∠ACP等于(  )【导学号:07370043】图2415A.20°B.25°C.30°D.40°【解析】 如图,连接OC,BC,∵PC切⊙O于C点,∴OC⊥PC

3、,∵∠P=40°,∴∠POC=50°.∵OC=OB,∴∠B=∠POC=25°,∴∠ACP=∠B=25°.【答案】 B5.如图2416所示,已知AB,AC与⊙O相切于B,C,∠A=50°,点P是⊙O上异于B,C的一动点,则∠BPC的度数是(  )图2416A.65°B.115°C.65°或115°D.130°或50°【解析】 当点P在优弧上时,由∠A=50°,得∠ABC=∠ACB=65°.∵AB是⊙O的切线,∴∠ABC=∠BPC=65°.当P点在劣弧上时,∠BPC=115°.故选C.【答案】 C二、填空题6.如图2417所示,直线PB与圆O相切于点B,D是弦AC上的点,∠

4、PBA=∠DBA.若AD=m,AC=n,则AB=________. 图2417【解析】 ∵PB切⊙O于点B,∴∠PBA=∠ACB.又∠PBA=∠DBA,∴∠DBA=∠ACB,∴△ABD∽△ACB.∴=,∴AB2=AD·AC=mn,∴AB=.【答案】 7.如图2418,已知△ABC内接于圆O,点D在OC的延长线上.AD是⊙O的切线,若∠B=30°,AC=2,则OD的长为__________.图2418【解析】 连接OA,则∠COA=2∠CBA=60°,且由OC=OA知△COA为正三角形,所以OA=2.又因为AD是⊙O的切线,即OA⊥AD,所以OD=2OA=4.【答案】 4

5、8.如图2419,点P在圆O直径AB的延长线上,且PB=OB=2,PC切圆O于C点,CD⊥AB于D点,则CD=________.图2419【解析】 连接OC,∵PC切⊙O于点C,∴OC⊥PC,∵PB=OB=2,OC=2,∴PC=2,∵OC·PC=OP·CD,∴CD==.【答案】 三、解答题9.如图2420所示,△ABT内接于⊙O,过点T的切线交AB的延长线于点P,∠APT的平分线交BT,AT于C,D.图2420求证:△CTD为等腰三角形.【证明】 ∵PD是∠APT的平分线,∴∠APD=∠DPT.又∵PT是圆的切线,∴∠BTP=∠A.又∵∠TDC=∠A+∠APD,∠TCD

6、=∠BTP+∠DPT,∴∠TDC=∠TCD,∴△CTD为等腰三角形.10.如图2421,AB是⊙O的弦,M是上任一点,过点M的切线与分别以A,B为垂足的直线AD,BC交于D,C两点,过M点作NM⊥CD交AB于点N,求证:MN2=AD·BC.图2421【证明】 连接AM,MB,因为DA⊥AB,MN⊥CD,所以∠MDA+∠MNA=180°.又因为∠MNA+∠MNB=180°,所以∠MDA=∠MNB,又因为CD为⊙O的切线,所以∠1=∠2,所以△ADM∽△MNB,所以=,同理=,所以=,即有MN2=AD·BC.[能力提升]1.在圆O的直径CB的延长线上取一点A,AP与圆O切于

7、点P,且∠APB=30°,AP=,则CP=(  )【导学号:07370044】A. B.2C.2-1D.2+1【解析】 如图,连接OP,则OP⊥PA,又∠APB=30°,∴∠POB=60°,在Rt△OPA中,由AP=,易知,PB=OP=1,在Rt△PCB中,由PB=1,∠PBC=60°,得PC=.【答案】 A2.如图2422,AB是⊙O直径,P在AB的延长线上,PD切⊙O于C点,连接AC,若AC=PC,PB=1,则⊙O的半径为(  )图2422A.1B.2C.3D.4【解析】 连接BC.∵AC=PC,∴∠A=∠P.∵∠BCP=∠A,∴∠B

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1、学业分层测评(九)(建议用时:45分钟)[学业达标]一、选择题1.如图2412所示,AB是⊙O的直径,MN与⊙O切于点C,AC=BC,则sin∠MCA=(  )图2412A.   B.   C.   D.【解析】 由弦切角定理,得∠MCA=∠ABC.∵sin∠ABC====,故选D.【答案】 D2.如图2413,在圆的内接四边形ABCD中,AC平分∠BAD,EF切⊙O于C点,那么图中与∠DCF相等的角的个数是(  )图2413A.4  B.5C.6D.7【解析】 ∠DCF=∠DAC,∠DCF=∠BAC,∠DCF=∠BCE,∠DCF=∠BDC,∠DCF=∠DBC.【答案】

2、 B3.如图2414所示,AB是⊙O的直径,EF切⊙O于C,AD⊥EF于D,AD=2,AB=6,则AC的长为(  )图2414A.2B.3C.2D.4【解析】 连接BC.∵AB是⊙O的直径,∴AC⊥BC,由弦切角定理可知,∠ACD=∠ABC,∴△ABC∽△ACD,∴=,∴AC2=AB·AD=6×2=12,∴AC=2,故选C.【答案】 C4.如图2415,PC与⊙O相切于C点,割线PAB过圆心O,∠P=40°,则∠ACP等于(  )【导学号:07370043】图2415A.20°B.25°C.30°D.40°【解析】 如图,连接OC,BC,∵PC切⊙O于C点,∴OC⊥PC

3、,∵∠P=40°,∴∠POC=50°.∵OC=OB,∴∠B=∠POC=25°,∴∠ACP=∠B=25°.【答案】 B5.如图2416所示,已知AB,AC与⊙O相切于B,C,∠A=50°,点P是⊙O上异于B,C的一动点,则∠BPC的度数是(  )图2416A.65°B.115°C.65°或115°D.130°或50°【解析】 当点P在优弧上时,由∠A=50°,得∠ABC=∠ACB=65°.∵AB是⊙O的切线,∴∠ABC=∠BPC=65°.当P点在劣弧上时,∠BPC=115°.故选C.【答案】 C二、填空题6.如图2417所示,直线PB与圆O相切于点B,D是弦AC上的点,∠

4、PBA=∠DBA.若AD=m,AC=n,则AB=________. 图2417【解析】 ∵PB切⊙O于点B,∴∠PBA=∠ACB.又∠PBA=∠DBA,∴∠DBA=∠ACB,∴△ABD∽△ACB.∴=,∴AB2=AD·AC=mn,∴AB=.【答案】 7.如图2418,已知△ABC内接于圆O,点D在OC的延长线上.AD是⊙O的切线,若∠B=30°,AC=2,则OD的长为__________.图2418【解析】 连接OA,则∠COA=2∠CBA=60°,且由OC=OA知△COA为正三角形,所以OA=2.又因为AD是⊙O的切线,即OA⊥AD,所以OD=2OA=4.【答案】 4

5、8.如图2419,点P在圆O直径AB的延长线上,且PB=OB=2,PC切圆O于C点,CD⊥AB于D点,则CD=________.图2419【解析】 连接OC,∵PC切⊙O于点C,∴OC⊥PC,∵PB=OB=2,OC=2,∴PC=2,∵OC·PC=OP·CD,∴CD==.【答案】 三、解答题9.如图2420所示,△ABT内接于⊙O,过点T的切线交AB的延长线于点P,∠APT的平分线交BT,AT于C,D.图2420求证:△CTD为等腰三角形.【证明】 ∵PD是∠APT的平分线,∴∠APD=∠DPT.又∵PT是圆的切线,∴∠BTP=∠A.又∵∠TDC=∠A+∠APD,∠TCD

6、=∠BTP+∠DPT,∴∠TDC=∠TCD,∴△CTD为等腰三角形.10.如图2421,AB是⊙O的弦,M是上任一点,过点M的切线与分别以A,B为垂足的直线AD,BC交于D,C两点,过M点作NM⊥CD交AB于点N,求证:MN2=AD·BC.图2421【证明】 连接AM,MB,因为DA⊥AB,MN⊥CD,所以∠MDA+∠MNA=180°.又因为∠MNA+∠MNB=180°,所以∠MDA=∠MNB,又因为CD为⊙O的切线,所以∠1=∠2,所以△ADM∽△MNB,所以=,同理=,所以=,即有MN2=AD·BC.[能力提升]1.在圆O的直径CB的延长线上取一点A,AP与圆O切于

7、点P,且∠APB=30°,AP=,则CP=(  )【导学号:07370044】A. B.2C.2-1D.2+1【解析】 如图,连接OP,则OP⊥PA,又∠APB=30°,∴∠POB=60°,在Rt△OPA中,由AP=,易知,PB=OP=1,在Rt△PCB中,由PB=1,∠PBC=60°,得PC=.【答案】 A2.如图2422,AB是⊙O直径,P在AB的延长线上,PD切⊙O于C点,连接AC,若AC=PC,PB=1,则⊙O的半径为(  )图2422A.1B.2C.3D.4【解析】 连接BC.∵AC=PC,∴∠A=∠P.∵∠BCP=∠A,∴∠B

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