高考数学专题《数列》超经典

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1、高考复习序列-----高中数学数列14一、数列的通项公式与前n项的和的关系①(注:该公式对任意数列都适用)②(注:该公式对任意数列都适用)③(注:该公式对任意数列都适用)④sn+1-sn-1=an+1+an(注:该公式对任意数列都适用)二、等差与等比数列的基本知识1、等差数列⑴通项公式与公差:定义式:一般式:推广形式:;;⑵前项和与通项的关系:前n项和公式:.前n项和公式的一般式:应用:若已知,即可判断为某个等差数列的前n项和,并可求出首项及公差的值。与的关系:(注:该公式对任意数列都适用)例:等差数列

2、,(直接利用通项公式作差求解)⑶常用性质:①若m+n=p+q,则有;特别地:若的等差中项,则有2n、m、p成等差数列;②等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”(如,)仍是等差数列;③为公差为d等差数列,为其前n项和,则,,...也成等差数列,A、构成的新数列公差为D=m2d,即m2d=(S2m-Sm)-Sm;B、对于任意已知Sm,Sn,等差数列公差,即也构成一个公差为等差数列。14⑥若项数为偶数,设共有项,则①偶奇;②;⑦若项数为奇数,设共有项,则①奇偶;②。例:已知等差数列,其中解析:法一,用等差

3、数列求和公式求出法二,,成等差数列,设公差为D,则:法三,63.等比数列的通项公式:⑴①一般形式:;②推广形式:,③其前n项的和公式为:,或.⑵数列为等比数列14⑶常用性质:①若m+n=p+q,则有;特别地:若的等比中项,则有n、m、p成等比数列;②等比数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”(如,)仍是等比数列;③为等比数列,为其前n项和,则,,...也成等比数列(仅当当或者且不是偶数时候成立);设等比数列的前项积为,则,,成等比数列.④为等比数列,则下标成等差数列的对应项成等比数列.⑤既是等差数列又是

4、等比数列是各项不为零的常数列.判断或证明一个数列是等差数列的方法:①定义法:是等差数列②中项法:是等差数列③一般通项公式法:是等差数列④一般前项和公式法:是等差数列判断或证明一个数列是等差数列的方法:(1)定义法:为等比数列;(2)中项法:为等比数列;(3)通项公式法:为等比数列;(4)前项和法:为等比数列。为等比数列。数列最值的求解(1),时,有最大值;,时,有最小值;14(2)最值的求法:①若已知,的最值可求二次函数的最值;可用二次函数最值的求法();②或者求出中的正、负分界项,即:若已知,则最值时

5、的值()可如下确定或。例1:等差数列中,,则前项的和最大。【解析】:例2.设等差数列的前项和为,已知①求出公差的范围,②指出中哪一个值最大,并说明理由。【解析】:①②由,可知,n=12是前n项和正负分界项,故所以,最大变式:若等差数列的首项为为31,从第16项开始小于1,则此数列公差d的取值范围是解析:,但要注意此时还要一个隐含条件,联立不等式组求解。3、若数列的前n项和,则,数值最小项是第项。【解析】:法一(导数法):根据等差数列前n项和的标准形式,可知该数列为等差数列,令,取得最小值,其中,可见当n

6、=3时取得最小。法二(列举法):对于可用列举法,分别求出n=1、2…时的的值,再进行比较发现。144、已知数列,【解析】:法一(均值不等式):由累加法:,令法二(列举法):实在没招时使用该法。5、已知等差数列的前n项和。【解析】:6、14数列通项公式的求法:类型1:等差数列型思路:把原递推式转化为,再使用累加法(逐差相加法)求解。例,已知数列满足,求数列的通项公式。解:由得则所以数列的通项公式为变式:已知数列满足,,求数列的通项公式。解:两边除以,得,则,此时,故数列是以为首项,以为公差的等差数列,由等

7、差数列的通项公式,得,所以数列的通项公式为评注:本题前的系数不一致,不能直接使用前述方法,解题的关键是把递推关系式转化为,说明数列是等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出,进而求出数列的通项公式。类型2:等比数列型把原递推式转化为,再使用累乘法(逐商相乘法)求解。例(2004年全国I第15题,原题是填空题)已知数列满足,求的通项公式。解:因为①所以②用②式-①式得则;故14所以③由,,则,又知,则,代入③得。所以,的通项公式为评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为,进而求出,从而可得当的表达式,最

8、后再求出数列的通项公式。类型4:待定系数法处理或型数列把原递推式转化为转化思路:例,数列解:令,所以即是公比为2的等比数列,=(),或令,是公比为2的等比数列,所以,变式1:已知数列满足,求数列的通项公式。思路:等式两边同时除于;原递推式变成令,14评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为,最后再求出数列的通项公式。变式2:已知数列满足,求数列的通项公式。思路:将原递推式两边倒数后换元,再转化为变式3:已知数列满足,,求数列的通项公式。思路

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