2015高考数学专题-数列经典荟萃

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1、2011理科数学数列高考题1、在数1和100之间插入n个实数,使得这n+2个数构成递增的等比数列,将这n+2个数的乘积记作,再令,n≥1.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)设,求数列的前n项和.答:本题考查等比和等差数列,对数和指数的运算,两角差的正切公式等基本知识,考查灵活运用基本知识解决问题的能力,创新思维能力和运算求解能力。解:(Ⅰ)设构成等比数列,其中,则①②①×②并利用,得(Ⅱ)由题意和(Ⅰ)中计算结果,知另一方面,利用得所以2、若数列满足,数列为数列,记=.(Ⅰ)写出一个满足,且〉0的数列;16(数列高考题)(Ⅱ)若,n=2000,证明:E数列是递增数

2、列的充要条件是=2011;(Ⅲ)对任意给定的整数n(n≥2),是否存在首项为0的E数列,使得=0?如果存在,写出一个满足条件的E数列;如果不存在,说明理由。解:(Ⅰ)0,1,2,1,0是一具满足条件的E数列A5。(答案不唯一,0,1,0,1,0也是一个满足条件的E的数列A5)(Ⅱ)必要性:因为E数列A5是递增数列,所以.所以A5是首项为12,公差为1的等差数列.所以a2000=12+(2000—1)×1=2011.充分性,由于a2000—a1000≤1,a2000—a1000≤1……a2—a1≤1所以a2000—a≤19999,即a2000≤a1+1999.又

3、因为a1=12,a2000=2011,所以a2000=a1+1999.故是递增数列.综上,结论得证。(Ⅲ)令因为……所以因为所以为偶数,所以要使为偶数,即4整除.当时,有16(数列高考题)当的项满足,当不能被4整除,此时不存在E数列An,使得3、已知等比数列{an}的公比q=3,前3项和S3=。(I)求数列{an}的通项公式;(II)若函数在处取得最大值,且最大值为a3,求函数f(x)的解析式。4、设b>0,数列满足a1=b,.(1)求数列的通项公式;(2)证明:对于一切正整数n,解(1)法一:,得,设,则,(ⅰ)当时,是以为首项,为公差的等差数列,即,∴(ⅱ

4、)当时,设,则,令,得,,16(数列高考题)知是等比数列,,又,,.法二:(ⅰ)当时,是以为首项,为公差的等差数列,即,∴(ⅱ)当时,,,,猜想,下面用数学归纳法证明:①当时,猜想显然成立;②假设当时,,则,所以当时,猜想成立,由①②知,,.(2)(ⅰ)当时,,故时,命题成立;(ⅱ)当时,,,,以上n个式子相加得,.故当时,命题成立;综上(ⅰ)(ⅱ)知命题成立.5、已知数列的前项和为,且满足:,N*,.16(数列高考题)(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)若存在N*,使得,,成等差数列,是判断:对于任意的N*,且,,,是否成等差数列,并证明你的结论.解:(I)由已知

5、可得,两式相减可得即又所以r=0时,数列为:a,0,…,0,…;当时,由已知(),于是由可得,成等比数列,,综上,数列的通项公式为(II)对于任意的,且成等差数列,证明如下:当r=0时,由(I)知,对于任意的,且成等差数列,当,时,若存在,使得成等差数列,则,由(I)知,的公比,于是对于任意的,且16(数列高考题)成等差数列,综上,对于任意的,且成等差数列。6、已知函数()=,g()=+。(Ⅰ)求函数h()=()-g()的零点个数,并说明理由;(Ⅱ)设数列满足,,证明:存在常数M,使得对于任意的,都有≤ .解析:(I)由知,,而,且,则为的一个零点,且在内有零

6、点,因此至少有两个零点解法1:,记,则。当时,,因此在上单调递增,则在内至多只有一个零点。又因为,则在内有零点,所以在内有且只有一个零点。记此零点为,则当时,;当时,;所以,当时,单调递减,而,则在内无零点;当时,单调递增,则在内至多只有一个零点;从而在内至多只有一个零点。综上所述,有且只有两个零点。解法2:,记,则。当时,,因此在上单调递增,则在内至多只有一个零点。因此在内也至多只有一个零点,综上所述,有且只有两个零点。(II)记的正零点为,即。(1)当时,由,即.而,因此,由此猜测:16(数列高考题)。下面用数学归纳法证明:①当时,显然成立;②假设当时,有

7、成立,则当时,由知,,因此,当时,成立。故对任意的,成立。(2)当时,由(1)知,在上单调递增。则,即。从而,即,由此猜测:。下面用数学归纳法证明:①当时,显然成立;②假设当时,有成立,则当时,由知,,因此,当时,成立。故对任意的,成立。综上所述,存在常数,使得对于任意的,都有.7、已知两个等比数列,满足.(1)若,求数列的通项公式;(2)若数列唯一,求的值.答(1)设的公比为q,则由成等比数列得即所以的通项公式为(2)设的公比为q,则由得由,故方程(*)有两个不同的实根由唯一,知方程(*)必有一根为0,代入(*)得8、已知等差数列{an}满足a2=0,a6+

8、a8=-1016(数列高考题)(I)求

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