高考数学大二轮总复习与增分策略-专题五 立体几何 第2讲 空间中的平行与垂直练习 文

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1、第2讲空间中的平行与垂直1．(2016·课标全国甲)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β.④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)答案②③④解析当m⊥n，m⊥α，n∥β时，两个平面的位置关系不确定，故①错误，经判断知②③④均正确，故正确答案为②③④.2．(2016·江苏)如图，在直三棱柱ABCA-1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B

2、1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.证明(1)由已知，DE为△ABC的中位线，∴DE∥AC，又由三棱柱的性质可得AC∥A1C1，∴DE∥A1C1，且DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，∴DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，∴AA1⊥A1C1，又∵A1B1⊥A1C1，且A1B1∩AA1＝A1，∴A1C1⊥平面ABB1A1，∵B1D⊂平面ABB1A1，∴A1C1⊥B1D，又∵A1F⊥B1D，且A1F∩A1C1＝A1

3、，∴B1D⊥平面A1C1F，又∵B1D⊂平面B1DE，∴平面B1DE⊥平面A1C1F.151.以填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面的判定与性质定理对命题的真假进行判断，属基础题.2.以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系交汇综合命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查，难度中等.热点一空间线面位置关系的判定空间线面位置关系判断的常用方法(1)根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题；(2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定

4、理来进行判断．例1(1)已知l是直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中的真命题是________．(填所有真命题的序号)①若l∥α，l∥β，则α∥β；②若α⊥β，l∥α，则l⊥β；③若l∥α，α∥β，则l∥β；④若l⊥α，l∥β，则α⊥β.(2)关于空间两条直线a、b和平面α，给出以下四个命题，其中正确的是________．①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥α，b⊂α，则a∥b；③若a∥α，b∥α，则a∥b；④若a⊥α，b⊥α，则a∥b.答案(1)④(2)④解析(1)①若l∥α，l∥β，则l可平行两平面的交线，所以为假命题；②若α⊥β，l∥α，则l

5、可平行两平面的交线，所以为假命题；③若l∥α，α∥β，则l可在平面β内，所以为假命题；④若l⊥α，l∥β，则l必平行平面β内一直线m，所以m⊥α，因而α⊥β为真命题．(2)线面平行的判定定理中的条件要求a⊄α，故①错；对于线面平行，这条直线与面内的直线的位置关系可以平行，也可以异面，故②错；平行于同一个平面的两条直线的位置关系：平行、相交、异面都有可能，故③错；垂直于同一个平面的两条直线是平行的，故④正确．思维升华解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判

6、断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中．跟踪演练1设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若m∥n，m⊥β，则n⊥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；15③若m∥n，m∥β，则n∥β；④若m∥α，m⊥β，则α⊥β.其中真命题的个数为________．答案②解析①因为“如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面”，所以①正确；②当m平行于两个相交平面α，β的交线l时，也有m∥α，m∥β，所以②错误；③若m∥n，m∥β，则n∥β或n⊂β，所

7、以③错误；④平面α，β与直线m的关系如图所示，必有α⊥β，故④正确．热点二空间平行、垂直关系的证明空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化．面面平行的判定例2如图，已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，AB＝2，点C是⊙O上一点，且AC＝BC，∠PCA＝45°，点E是PC的中点，点F是PB的中点，点G为线段PA上(除点P外)的一个动点．(1)求证：BC∥平面GEF；(2)求证：BC⊥GE；(3)求三棱锥B—PAC的体积．(1)证明∵点E是PC的中点，点F是PB的中点，∴EF∥CB.∵

8、EF⊂平面GEF，点G不与点P重合，15CB⊄平面GEF，∴BC∥平面GEF.(