高中数学：多项式理论

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1、第二讲多项式理论题记:克莱因评价高斯在数学中的地位：“我们会得出这样一个数学场景，如果把18世纪的数学界想象成为一系列高山峻岭，那么最后一个令人肃然起敬的峰巅便是高斯，如果把18世纪的数学界想象成为一条条江河，那么源头便是高斯，他是那样一个广大丰富的区域中充满了生命的新元素。”初等代数研究第二讲多项式理论一、一元多项式理论与轮换、对称多项式二、根式、指数式、对数式理论三、三角式理论一、一元多项式理论与轮换多项式多项式是代数学中的一个基本概念，也是代数式中的一种，对代数式的研究都要归结于对多项式的研究。多项式的恒等变形是解析式恒等变形的基础，它把数系的通性推广到整式，使运算对象由具体的数抽象为

2、一般字母并把运算法则、运算律抽象成一组形式化符号，形成严密的理论体系，为解代数方程奠定了理论基础。（一）解析式的定义和恒等1、定义：用运算符号把数、表示数的字母连接而成的式子叫做解析式。说明：1、在研究解析式恒等时，一定要清楚他们在什么范围内讨论。（公共定义域）2、解析式的恒等变形，可能引起定义域的变化。（二）一元多项式理论1、一元多项式的标准形式多项式理论是方程理论、函数理论、不等式理论的基础。2、多项式的恒等定理1：数域F上的两个具有相同变数字母的多项式，如果对于变数字母的所有取值，这两个多项式的值都相等，那么称这两个多项式是恒等的。特别地：一个一元n次多项式，如果对于变数字母的任意取值

3、，以标准形式给出的多项式的值恒为0，那么这个多项式的系数都等于0，这个多项式称为0多项式。定理2：数域F上以标准形式给出的两个多项式恒等的充要条件是这两个多项式的对应项分别具有相同系数的同类项。定理3：数域F上以标准形式给出的两个多项式，对于变数x的n+1个不同的值有相同的取值，那么这两个多项式恒等。定理2、定理3是“待定系数法”的理论依据。3、多项式的整除因式分解的理论基础是因式定理4、多项式的因式分解中学教材规定：“把一个多项式化成几个整式乘积的形式，叫做多项式的因式分解”。要求：“因式分解要进行到不能再分解为止。”高等代数中规定因式分解的涵义是：“所谓因式分解是把数域F上的一个多项式化

4、成几个既约多项式乘积的形式。”关于因式分解理论，有两个基本问题：（1）怎样判断一个多项式是否可约？（2）如果一个多项式是可约的，如何分解？对于（1）高等代数作出了回答：在复数域中，一次多项式是既约的，任何次数大于1的多项式都是可约的；在实数域中，次数大于等于3的多项式是可约的；在有理数域中，情况比较复杂，具体问题具体讨论。分解因式中的两个有用的结论：对称、轮换多项式主要内容：1、对称多项式的定义；2、对称多项式的形式；3、基本对称函数与根与系数的关系；4、轮换多项式的定义与因式分解；5、用基本对称函数表示对称多项式。定义分析：1、一个置换实际上是指一个排列；2、置换的总数共有n!种。判断下列

5、多项式是否是对称多项式（2）基本对称函数（基本对称多项式）广义韦达定理：结论1：任何对称多项式都可以表示成基本对称函数的形式。结论2：两个对称多项式的和、差、积、商、乘方（幂）也是对称多项式。定义分析：1、轮换：轮流替换；2、轮换的总数共有种。对称多项式与轮换多项式的关系：对称多项式是轮换多项式，反之不然。性质：两个轮换多项式的和、差、积、商、幂仍是轮换多项式。（4）轮换多项式的因式分解（因式定理）轮换多项式因式分解的一般步骤：1）确定要分解的多项式是轮换多项式；2）利用因式定理确定出部分因式；3）据多项式的对称性，写出其他有关多项式的形式（待定系数法）4）利用多项式恒等确定待定系数的数值。

6、用基本对称函数表示对称多项式题记：赞美月亮切勿用贬低星星的做法，不然在赞美太阳时就可能用同样的方法贬低月亮。（5）用基本对称函数表示对称多项式多元多项式的因式分解分式与根式分式与根式研究的主要内容：1、分式的恒等2、根式的定义与意义3、复合根式的计算4、根式的恒等变形和化简一、有理分式的恒等二、根式的定义和意义三、复合根式的计算四、根式的恒等变形的化简类型1多元代数式型基本思想：观察代数式的结构，转化为基本对称多项式的形式类型2一元代数式型根式基本思想：转化为一元代数方程式类型3一元代数式型基本思想：降低次数法类型4方程型无理根式基本思想：构造对偶式、函数等方法，利用相关性质求解5、代数代换

7、法6、函数型根式——构造几何模型法7、三角形代换法（三）三角方法的应用指数式与对数式如果计算生命的长短不以活着的年龄为标准，而以人的贡献来计算的话，那么对数的发现将人类的寿命延长了两倍。——拉普拉斯题记主要内容1、对数的起源和发展；2、指数式与对数式的相互关系；3、指数式与对数式的恒等变形。历史背景16世纪的欧洲，资本主义迅速发展，科学和技术迅猛发展。天文、航海、测绘、造船等行业不断向数学提出新的课题。令人头