经济数学基础讲义 第9章 矩阵

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1、第2章矩阵2.1矩阵的概念 整存整取定期储蓄存期三个月六个月一年二年年利率(%)2.884.145.675.94北京市居民抄表记录卡项 目1月份2月份3月份天然气m3252426电(kw·h)135125130水m3889学生成绩表姓名数学语文英语张建中808280林 勇758475王建明858083崔 也869090王 宾919095上面这些长方形表，抽象出来就是我们要讲的矩阵.                                          矩阵一般用大写英文字母表示：如等横向称行，竖向称列.——矩

2、阵,每一个位置上的数都是的元素，如1是的第2行第2列的元素，记为：.5是的第1行第4列的元素，记为：矩阵定义请看教材第2章定义2.1.           16补充内容：特别地，当时，矩阵只有一行，即称为行矩阵；当时，矩阵只有一列，即称为列矩阵；当时，矩阵的行列数相同，即 称为阶矩阵（或阶方阵）在阶矩阵中，从左上角到右下角的对角线称为主对角线，从右上角到左下角的对角线称为次对角线.行列数相同的矩阵称为同型矩阵.在矩阵中各个元素的前面都添加一个负号得到的矩阵称为的负矩阵，记作，即例如，,这里是的负矩阵.例1 这是4行2列矩

3、阵.162.2矩阵的运算1.矩阵相等例如，一日产量的统计表                         一班二班       第一天的产量为,第二天的产量为,由此可以得到矩阵相等的定义.若满足：(1)同形(2)对应元素分别相等，即,则称. 矩阵加法                               ,用记为的和，即规定如下(1)同形，于是同形.(2)对应元素分别相加.矩阵加法满足两条运算规律：                性质1(交换律)                 性质2(结合律)    矩阵，记为

4、，且2.矩阵的数量乘法                       是矩阵，是实数，，则16(1)和同形(2)，即中每个素都乘以特别地：， 注意：中定义为，等式左边是数0与矩阵的乘积，而右边是零矩阵.矩阵减法定义为：，即矩阵减矩阵等于加的负矩阵.其中，，= {，} 1．仅当时，才能做乘法.2．若，则——3．若，则  (行乘列法则)(矩阵乘法定义请阅读教材第2章定义2.5)            矩阵乘法的运算性质    (数对矩阵的分配律)   (矩阵的左分配律)    (矩阵的右分配律)4.矩阵的转置         

5、                    设，将第一行元素写在第一列处，第二行元素写在第二列处，这样就可得到的转置矩阵.16转置矩阵的性质 =补充内容数乘矩阵所满足的算律设A，B为任意 k,h为任意实数，可以验证数与矩阵的乘法满足：（1）k(A+B)=kA+kB（2）(k+h)=kA+hA（3）(kh)A=k(hA)（4）,例1设，因为，所以例2设，，求.解:例3 设，，求.解:因为不同形，所以不能进行.例4设，，，求，和.解：==[2] ==不能相乘.16例6设，，计算.解：=     +===== =例7均为矩阵，问下

6、列乘法能否进行，若能，其乘积矩阵为几行几列？解：——4阶，——3阶2.3几类特殊矩阵矩阵所有元素都为零的矩阵。例如单位矩阵：主对角线上的元素全是1，其余元素全是0的阶矩阵称为单位矩阵，记作或.16数量矩阵主对角线上的元素为同一个数，其余元素全是0的阶矩阵称为数量矩阵，记作.对角矩阵主对角线以外的元素全为零的方阵称为对角矩阵，即有时也记作或三角矩阵主对角线上方的元素全为零的方阵称为下三角矩阵，它形如主对角线下方的元素全为零的方阵称为上三角矩阵，它形上三角矩阵和下三角矩阵统称为三角矩阵.对称矩阵若矩阵满足，则称为对称矩阵.数

7、量矩阵满足性质：阶数量矩阵与所有的阶矩阵可交换.即例1设，求.解：16　　=例2设为任意给定的矩阵，证明为对称矩阵.证:因为所以为对称矩阵.（证毕）2.4n阶矩阵的行列式由于讨论矩阵性质的需要，引进阶方阵行列式的概念.定义与阶方阵相应的行列式成为方阵的行列式，记作或.关于方阵的行列式有下面重要的定理.定理 对于任意两个阶方阵，总有即方阵乘积的行列式等于行列式的乘积.这个定理可以推广到多个阶矩阵相乘的情形.推论若都是阶矩阵，则，特别地例1设，计算.解：=例2设二阶矩阵，验证.证:因为 ,且16,所以.（证毕）2.5可逆矩阵

8、与逆矩阵可表为可逆矩阵 设矩阵，如果存在一个矩阵，使得（1）则称是可逆矩阵，称是的逆矩阵，记为.例1 设，，问：为吗？解：因为 =，，==,所以    例2设，问：是否可逆？解: A是不可逆的.   什么叫逆阵？            仅限于讨论方阵的逆阵；不是所有方阵都有逆阵；会验证是否为逆阵；有了逆阵就相当于有了